Trasformazione di un triangolo di resistenze elettriche in una stella

TRASFORMAZIONE DI UN TRIANGOLO DI RESISTENZE IN UNA STELLA

Si può verificare sperimentalmente che al triangolo di resistenze elettriche R₁,R₂ R₃, si può sostituire una stella, avente per centro un punto ' S ' e  i cui lati sono immaginati sulle bisettrici degli angoli del triangolo.

Ciascuna resistenza della stella  si  ottiene  moltiplicando  le resistenze dei due lati del triangolo  (fra i quali è compresa) e dividendo per la somma delle tre resistenze del triangolo (perimetro).

r₁₂ = R_1*R₂ / (R₁+R₂+R₃) ,  r₁₃ = R_1*R₃ / (R₁+R₂+R₃) ,  r₂₃ = R_2*R₃ / (R₁+R₂+R₃)

Nel circuito che segue come primo esempio non sarebbe possibile calcolare le correnti perché le resistenze non sono collegate né in serie, né in parallelo, ma sarà  possibile risolverlo solo grazie alla trasformazione Triangolo-Stella.

°°°°°°°°°°°°°°°°

Dati : R₁ = 20 Ω   , R₂ = 50  Ω   ,  R₃ = 30   Ω ,    R₄ = 24  Ω   ,   R₅ = 5  Ω   ,  r = 3  Ω     ,  V_o = 100  V

In questo circuito le resistenze  non  sono collegate né in in serie, né in parallelo. Quindi non saremmo in grado di calcolare le  correnti,  ma  grazie  alla  trasformazione  del triangolo di resistenze in una stella di resistenze riusciremo a calcolarle.

Basta guardare il secondo circuito che è equivalente al primo.

In questo secondo circuito avremo :

r₁₂ = 10   Ω    ,   r₁₃  =  6   Ω      ,    r₂₃  = 15  Ω

R_(tot) = 25  Ω ,  i(tot) = 100/25 = 4 A ,  V(BS) = 4_*12 = 48  V     In R₅ circola i₅ = 8/20 = 2.4  A

In R₄ circola i₄ = 48 / 30 = 1.6 A

Per calcolare le correnti nelle resistenze del triangolo di partenza, calcoliamo le d.d.p. ai loro capi nel secondo circuito :

V(AC) = V(AS) + V(SC) = -4_*10 – 1.6_*6 = -49.6  V , quindi in R ₁ circola  i₁ = 49.6/20 = 2.48  A   (col verso da C ad A)

V(AD) = V(AS) + V(SD)= -4_*10 – 2.4_*15 = -76 V  quindi in R₂ circola i₂ = 76/50 = 1.52 A 
(da D verso A)

V(CD) = V(CS) + V(SD) = 1.6_*6 – 2.4_*15  = -26.4  V quindi in R₃ circola  i₃ = 0.88  A (da D verso C)

Dopo aver calcolato le correnti nelle resistenze del triangolo di partenza, può essere utile controllare che nei 4 nodi la somma delle correnti che entrano è uguale alla somma di quelle che escono.

Nel nodo A le correnti  i₁  e  i₂  entrano  e  i_(tot) esce : i₁ + i₂ = i_(tot) => 2.48 + 1.52 = 4 A

Nel nodo B entra i(tot) ed escono i₄ e i₅ :  i_(tot) = i₄ + i₅  = 1.6 + 2.4 = 4

Nel nodo C entrano i₃ ed i₄ ed esce i₁ :   i₃ + i₄ = i₁ = 0.88 + 1.6 = 2.48  

Nel nodo D entra i₅ ed escono i₂ e i₃  :  i₅ = i₂ + i₃  = 2.4 = 1.52 + 0.88  

I risultati sono più che soddisfacenti.

ooooooooooo 

Ecco un secondo esempio numerico

Dati : R₁ = 20  Ω , R₂ = 30  Ω , R₃ = 50  Ω , R₄ = 20  Ω   , R₅ = 5  Ω , r = 2  Ω     , V_o = 60  V

 

                    

Anche in questo circuito le resistenze non sono collegate né in serie, né in parallelo.

Se lo disegnamo diversamente vedremo più chiaramente un triangolo di resistenze.

Al triangolo di resistenze R1,R2,R3, sostituiamo la stella equivalente, il circuito diventerà semplificabile e potremo calcolare tutte le correnti nelle singole resistenze.

Calcoli : r₁₂ = 6 Ω , r₁₃ = 10 Ω ,  r₂₃ = 15  Ω

r₁₃ risulta in serie con R_{4 ,} quindi :

  R(SBD) = 30 Ω,

 r₂₃  è in serie con R₅  (quindi : 

R(SCD) = 20  Ω),

 Il parallelo R(SD) = 12 Ω è in serie con r₁₂ , quindi : R(AD) = 18 Ω,  R_(tot) = 20  Ω , i_(tot) = 3  A , V(AS) = 18  V , V(SD) = 36  V

Volendo calcolare le correnti nelle resistenze del circuito di partenza, (in R4 ed R5 le abbiamo già calcolate nel secondo circuito, i₄ = 1.2  A ed i₅ = 1.8 A), ci servono le 3 differenze di potenziale : [ V(AB), V(AC), e V(BC)] che possiamo calcolare ancora nel terzo circuito.

Infatti : V(AB) = V(AS) + V(SB) = 18 + 12 = 30 V quindi nel primo circuito : i₁ = i(AB) = 1.5 A

              V(AC) = V(AS) + V(SC) = 18 + 27 = 45 V quindi nel primo circuito : i₂ = i (AC)= 1.5 A

              V(BC) = V(BS) + V(SC) = - 12 + 27 = 15 Vquindi nel primo circuito : i₃= i(BC) = 0.3 A

La resistenza R₃ nel ramo BC è l’unica nella quale la corrente i₃ può avere due possibili versi.

Se V(BC) > 0 la  i₃  andrà da  B  verso C (come nel nostro esempio), se invece V(BC) < 0 la cor-

rente i₃ andrà nel verso da C a B.

Sarà anche possibile il caso in cui V(BC) = 0 per cui risulterà i₃ = 0 (questo caso viene utilizza-

to nel famoso Ponte di Wheatstone, 

oooooo