IL CENTRO DI MASSA

UN PUNTO  DI  UN CORPO MOLTO IMPORTANTE (CHE PUO’ ANCHE NON APPARTENERGLI) : IL  CENTRO  DI  MASSA

Il centro di massa di un corpo è quel punto nel quale  è  concentrata tutta la massa  (e in pratica, normalmente, anche tutto il suo peso).

Ad es. se consideriamo un'asticella di sezione costante  ed omogenea, è facile capire che il baricentro cade nel suo centro.

Ed infatti se poniamo un dito in quel punto, starà in equilibrio.

Una lastra di forma geometrica regolare ha il centro  di  massa nel suo centro di simmetria.

Se la lastra è di forma irregolare,  basterà  sospenderla per due punti diversi. Nel  punto  d'incontro delle due verticali troveremo il suo baricentro.

Non sempre il baricentro di un corpo è un suo punto.  E' facile  ad es. capire che il baricentro di un anello omogeneo e di sezione costante  cade  nel  suo  centro,  e  questo  è  un  punto che non appartiene all'anello.

Ma sarà di grande utilità, per gli sviluppi futuri, poter  calcolare le coordinate x_G  ed  y_G  del baricentro di un insieme di punti materiali, di cui sono note le singole coordinate e le masse .

Immaginiamo quindi  una massa costituita da un numero N di punti materiali, di masse m_1, m₂ , … e coordinate (x₁,y₁),  (x₂,y₂) , ecc... , (e P₁, P₂ ,.. siano i rispettivi pesi).

Abbiamo indicato con E la forza equilibrante, d’intensità uguale al peso totale, quindi :

E  =  P₁  +  P₂  +  ... ecc.

 Dato che la lastra è in equilibrio, il momento di tutte queste forze, rispetto ad un punto qualunque, deve essere nullo. Se, come polo dei momenti scegliamo l'origine O degli assi e assumiamo come positivo il verso antiorario, scriveremo  :

E_*x_G  -  P_1*x₁  -  P_2*x₂ - ...  =  0,  per cui si ha  :   x_G = (P_1*x₁ + P_2*x₂ + ...) / (P₁ + P₂ + ...)

Dividendo numeratore e denominatore per ' g ' otterremo  :

x_G  =  (m_{1 *} x₁  +  m_{2 *} x₂  + ...)  /  (m₁  +  m₂ + ---)  e analogamente

                          y_G  =   (m_{1 *} y₁  +  m_{2 *} y₂  + .......) / (m₁ + m₂ + ...)

Per una lastra di spessore costante, il centro di massa cade ovviamente a metà spessore.

Dato che le masse sono proporzionali sia al volume sia alla superficie, ad esse potremo sostituire i volumi o le aree,  secondo ciò che si conosce (nel rapporto, le densità si semplificano)

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Segue un  esempio di applicazione delle formule trovate :

Data la struttura a L  disegnata, vogliamo calcolare le coordinate del suo centro di massa.

 

x_G  =   (m_{1 *} x₁  +  m_{2 *} x₂  + .......)  /  (m₁  +  m₂ + ...  )

y_G  =   (m_{1 *} y₁  +  m_{2 *} y₂  + .......) /  (m₁  +  m₂  + ... )

Ricordiamo che : m = densità_*Volume = d _* V = d _* A _* z   (d e lo spessore z si semplificano nel rapporto).

A₁ = 20_*4 = 80  (cm² )                     (fa le veci di m₁, ed ha come coordinate (10,10)).

A2 = 8 _* 4 = 32  (cm²)                      (fa le veci di m₂, ed ha come coordinate (18,4)  per cui si ha :

x_G = (A_1*x₁ + A_2*x₂) / (A₁ + A₂) = (80_*10 + 32_*18) / (80+32) = (800+576) / 112 = 12.3

y_G = (A_1*y₁ + A_2*y₂) / (A₁ + A₂) = (80_*10 + 32_*4) / (80+32)   = (800+128) / 112 =  8.3

Come si può capire il centro di massa è un punto che non appartiene alla L perché le sue coordinate sono esterne.

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