MATEMATICA : Calcolo delle coordinate del centro e del raggio del cerchio inscritto in un triangolo

MATEMATICA : Calcolo delle coordinate del centro e del raggio della circonferenza inscritta in un triangolo, date le coordinate dei suoi vertici

Siano A (-8,5) , B (2,7) , C (3,-9) le coordinate 

dei vertici di un triangolo nel quale inscrivere 

la circonferenza.

Per cominciare calcoliamo la lunghezza dei tre 

lati AB, BC, CA :

AB = 10.2    ,     BC =  16.03     ,     CA = 17.8

e la sua area con la formula di Erone :

essendo  il semiperimetro :      p = 22.02

Il rapporto fra l’area del triangolo e il semiperimetro ci dà la misura del raggio della 

circonferenza inscritta  :                 R = Area triangolo / p = 3.68

Le coordinate (x_C,y_C) del centro della circonferenza inscritta nel triangolo sono date dalle due 

formule :

x_C = x_A*BC + x_B*CA + x_C*AB = - 1.41

y_C = y_A*BC + y_B*CA + y_C*AB = 2-57

Da notare che BC , CA ed AB sono i lati opposti ai vertici A, B e C del triangolo.

Da ricordare che in geometria l'incentro è il punto d'incontro delle bisettrici del triangolo

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Velocità degli elettroni che trasportano la corrente elettrica.

Quanto vale la velocità media degli elettroni che trasportano la corrente elettrica ?

Consideriamo un conduttore cilindrico di rame (d = 8.9 g / cm³. peso atomico : A = 64), di lunghezza L e sezione S, percorso da una corrente elettrica, di data intensità.

L'intensità della corrente : i = dq / dt  è data dal  rapporto  fra  la carica ' dq ' che nel tempo ' dt ' attraversa la generica sezione S e il tempo ' dt ' stesso. Se questi elettroni hanno una velocità  (media)  V, nel tempo dt occupano il volume di un cilindretto  di  area  S e altezza  V _* dt. Per calcolare quanti elettroni hanno attraversato la sezione, basterà  calcolare  quanti  ce ne sono nel volumetto  S _* V _* dt.

Dalla formula inversa della densità, possiamo ricavare la massa di questo conduttore :

m = d _* Volume = d _* S _* L.

Sappiamo che in un numero di grammi pari al peso atomico A = 64, quindi in  64  (g) di rame c'è un numero di atomi pari al numero N di Avogadro, per cui la massa in grammi di un solo atomo di rame sarà data da :

massa di un solo atomo = A / N.

Se dividiamo la massa m del nostro conduttore per la massa di un atomo otteniamo   il numero di atomi   che  sono contenuti  nel  nostro  conduttore :

numero di atomi contenuti nel conduttore =  m / (A / N) = m _* N / A

Se dividiamo questo numero per il volume (S _* L)  del  conduttore,  otteniamo il  numero di atomi per unità di volume = m _* N / (A _* S _* L).

Se ad  m  sostituiamo il valore d _* S _* L, la quantità  :  d _* N / A   rappresenta  il  numero  di atomi di rame  contenuti  in  1  cm³  del conduttore,(ed anche il numero di elettroni di conduzione, se facciamo l'ipotesi che ogni atomo di rame ne abbia uno solo).

Per calcolarlo basterà moltiplicare per questo volumetto il numero di quelli presenti in 1 cm³. Quindi il  numero  degli  elettroni  di  conduzione  che nel tempo dt attraversano la generica sezione S vale  :  d _* N / A) _* S _* V _* dt    

Per avere il  valore  assoluto  della carica 'dq ' che  trasportano, basterà  moltiplicare  il  loro  numero per il valore  assoluto  della carica |e|  di ciascun elettrone.

Quindi : dq = (d _* N / A) _* S _* V _* dt _* |e|. Ed ecco infine il valore dell'intensità della corrente :

i = dq / dt = (d _* N / A) _* S _* V _* |e|.

Con una formula inversa ricaveremo la velocità media degli elettroni :

V = i _* A / (d _* N _* S _* |e|).

Se ad. es. il valore del raggio di  un  filo di rame r = 0.1 ( cm) ed il valore dell'intensità della corrente i = 2 (A), risulta V = 0.0048 (cm/s).

Questa velocità è piccolissima ma il moto si propaga a tutti gli elettroni di conduzione del

circuito quasi istantaneamente.

Misuriamo l'altezza di una montagna

ALTEZZA DI UNA MONTAGNA  DALLA MISURA DI DUE ANGOLI E UNA DISTANZA

Non abbiamo considerato gli errori ma non sarebbe difficile calcolarli con un secondo disegno 

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Corrente elettrica nei gas a pressione ordinaria

LA CORRENTE ELETTRICA NEI GAS A PRESSIONE ORDINARIA

Normalmente i gas sono isolanti ed infatti la sferetta di un elettroscopio, immersa in un gas o più semplicemente in aria mantiene a lungo la sua carica. Ciò sta a significare che la maggior parte degli atomi e delle molecole costituente il gas sono neutre.

Ma se si avvicina un fiammifero acceso o una sorgente radioattiva  o  una  sorgente di raggi X, si può vedere che l'elettroscopio si scarica rapidamente

Utilizzando il circuito schematizzato,  è  possibile  costruire un grafico del tipo disegnato sotto.

All'aumentare della d.d.p. V fra le armature del condensatore aumenta (quasi proporzionalmente) l'intensità della corrente, come avviene per i conduttori metallici che seguono la legge di Ohm.  (L'aumento iniziale della corrente è dovuto al fatto che all'aumentare della d.d.p. V fra le armature del condensatore aumenta la velocità degli ioni (generati dai raggi X) e quindi  il  numero  di  quelli  raccolti sulle armature in 1 secondo,  ma  è chiaro che da un certo valore di V in poi non si può raccogliere un numero di ioni superiore a quello generato nello stesso tempo dai raggi X. (Si dice che si è raggiunta la CORRENTE DI SATURAZIONE).

Con l'aumentare ulteriore della d.d.p.  V,  la corrente torna a crescere  perché  gli ioni diventano essi stessi  capaci  di generarne altri per urto con molecole neutre. Si ha così l'inizio di un processo di scarica a valanga.

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MISURIAMO LA LARGHEZZA DI UN FIUME ... RIMANENDO ASCIUTTI

MISURA  DELLA  DISTANZA  FRA  DUE  PUNTI  INACCESSIBILI

Supponiamo di voler misurare  la larghezza x di un fiume (o in generale la distanza fra due 

puntiA e P inaccessibili).

Pianteremo 4 paletti.

Un primo paletto nel punto A. Un secondo paletto nel punto B (in modo che si possa misurare  

la distanza  AB = d_1-

Un terzo paletto in un punto C  (misurando la distanza  BC = d_{2 .}

Dal punto C ci si sposta in un punto D scelto in modo tale che risulti allineato con i punti B e P.

Sia  CD = d₃.

  Per la similitudine dei due triangoli rettangoli PAB e CBD, si potrà scrivere la proporzione  :

x : d₃ = d₁ : d₂     Quindi risulta :

x = d_{3 *} d₁ / d₂

Come è necessario fare in tutte le misure è necessario avere almeno un’idea degli errori assoluti

massimi   e   delle  tre distanze  (non  avrebbe  senso dare  il  risultato di una misura se non si ha un’idea del suo errore assoluto massimo). 

Un interessante problema di cinematica

LANCIO  VERTICALE  DI UNA PALLA VERSO L’ALTO DA UNA DATA ALTEZZA

Un uomo lancerà  una palla verso l'alto con una velocità  iniziale Vo. Nel momento in cui la sua mano abbandona la palla, questa si trova ad un'altezza ' ho 'rispetto ad un livello inferiore. Si vuol sapere dopo quanto tempo dal lancio arriverà al suolo e con che velocità.

Supponiamo che la velocità iniziale del lancio verso l’alto sia :

Vo  = 40  (m/s)   e   ho = 20 (m)

Il modo più veloce per risolvere questo problema consiste nell’assumere come asse y la verticale verso l’alto con l’origine nel punto in cui la palla abbandona la mano dell'uomo.

 La legge oraria del moto sarà quindi data da :

y = Vo _*  t   –   g _* t²  / 2

                Basta porre :    y  =  -  ho       ...   e  ricavare il tempo .

               Dato che l'equazione è di secondo grado, si trovano due valori  :

t1 = 8.63 (s)      e      t2 = -  0.47 (s)

               La soluzione negativa si  scarta , (ma  t2  col  segno  cambiato ci darebbe                 il tempo che la pallina impiegherebbe per arrivare al suolo,  se  Vo  fosse                 rivolta verso il basso).

Per calcolare la velocità  con cui arriva al suolo , scriveremo : 

V = Vo  -  g _* t₁  =    - 44.63 (m/s)

(Vo è positiva perché rivolta verso l’alto, mentre g è negativa perché verso il basso).

Il segno della velocità V è negativo perché  di  verso  opposto  rispetto  a  Vo.

Ma si potranno accettare i risultati ottenuti da qualche studente che calcolerà il tempo in due volte.

t_(salita)  =  Vo/g  =  40/9.8 = 4.08 (s)  tempo impiegato dalla palla per raggiungere l’altezza massima

h _(salita)  = Vo²/(2_*g) = 81.63 (m)

Sommando questi due tempi trova il nostro stesso risultato 4.55 + 4.08 = 8.63 (s)

V =  g  _* t  = 9.8 _* 4.55 = 44.6  (m/s) ,  (dall’altezza massima la palla riparte da ferma).

L’allievo che non conosce ancora il Principio di conservazione dell’energia imparerà che nelle materie scientifiche si consiglia di verificare, se esiste  un'altra via, i risultati ottenuti.

Così scriveremo : m_*g_*ho  +  m_*Vo² / 2 = m_*V² / 2 quindi V = 44.63 (m/s)

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Urto elastico fra due pendoli

URTO  ELASTICO FRA DUE PENDOLI (DI CUI QUELLO COLPITO INIZIALMENTE A RIPOSO)

(Si tratta di un problema facile, ma è utile per allenarsi con i principi di conservazione della meccanica)

La  sferetta  di un pendolo  di  massa  m₁  e  lunghezza  Lo,  viene  abbandonata  da un'altezza ho < Lo  e colpisce il pendolo di massa m₂, inizialmente fermo.

Nell’ipotesi che l’urto sia elastico, viene calcolata la velocità V_o1 con cui m₁ colpisce m₂, le velocità V₁  e  V₂ delle due masse subito dopo l'urto  e  le due  altezze massime  h₁  ed  h₂  raggiunte dalle due masse, dopo il primo urto.

Con i risultati viene verificata la conservazione della quantità di moto e dell'energia.

Ed ecco un esempio numerico :

Dati : m₁ = 0.2 (Kg) , m₂ = 1 (Kg) , Lo = 1.2 (m) , ho = 0,2 (m),  

Noto  ho si può scrivere :  (1)   m_1*g_*ho = m_1*V_o1²  / 2  da cui deduciamo il valore di V_o1 che risulta :

V_o1 =    = 1. 98  (m/s)

La massa m₁ colpisce con questa velocità la massa m2 ferma.

Le due velocità finali le calcoleremo con le ben note formule dell’urto centrale elastico :

V₁ = (m₁-m₂)_*V_o1 / (m₁ + m₂) = ( 0.2 - 1 )_*1.98 / 1.2 = - 1.32  (m/s)  (negativa, quindi m1 rimbal

za all’indietro).

V₂ = 2_*m_1*V_o1 / (m1+m2) = 2_*0.2_*1.98/1.2  =  0.66  (m/s)  (positiva, quindi verso destra)

Le altezze raggiunte dopo il primo urto, si calcolano con la conservazione dell’energia  :

m_1*V₁² / 2 = m_{1 *} g _* h_{1  ,} quindi  risulta : h₁ = V₁² / (2_*g) = 0.089 (m) , (a sinistra della verticale)

m_2*V₂² / 2 = m_{2 *} g _* h_{2  ,} quindi  risulta : h₂ = V₂² / (2_*g) = 0.022 (m) , (a destra della verticale)

Qo = m1*Vo1 = 0.2 * 1.98 = 0.396 (Kg_*m/s) ; 

Q_Finale = m_1*V₁ + m_2*V₂ = - 0.2_*1.32 + 1_*0.66 = 0.396  (kg*m/s)

m_{1 *} g _* ho = 0.2_*9.8_*0.2 = 0.392 (J)

E_{cin finale}  =  m_1*V₁² / 2   +   m_2*V₂² / 2  = 0.392 (J)

Se le sferette hanno la stessa massa, dopo l’urto m₁ si ferma ed m₂ raggiunge la stessa altezza ho da cui era partita m₁.

URTO ELASTICO DI UNA SFERETTA CON UNA PARETE

URTO ELASTICO (IN UN PIANO ORIZZONTALE) FRA UNA SFERETTA ED UNA PARETE FISSA

Studiando l'urto centrale elastico di due sferette puntiformi, per la conservazione dell’energia e della quantità di moto, le velocità finali risultano date da :

V₁ = [2 * V_{o2 *} m₂   +  (m₁ - m₂) _* V_o1] / (m₁ + m₂)

V₂ = [2 _* V_{o1 *} m₁   +  (m₂ - m₁) _* V_o2] / (m₁ + m₂)

essendo m₁ ed m₂ le masse delle due sferette e V_o1 e V_o2 le loro velocità iniziali.

Se consideriamo il caso in cui  V_o2 = 0  ed m2 grandissima e molto maggiore di m_1, stiamo studiando il caso che la massa colpita dalla sferetta è una parete.

Cominciamo col considerare il caso di urto elastico con velocità iniziale ortogonale alla parete e supponiamo che il moto avvenga in un piano orizzontale privo di attriti. 

Se dividiamo numeratore e denominatore delle formule precedenti per m2, otteniamo la velocità finale di m1 :

                      V₁ =(m₁/m₂ – 1) _* V_o1 = - V_o1  
     
 (dato che   m₁/m₂   è trascurabile in confronto all’unità  e noi abbiamo posto che sia m1 / m2 = 0).

Quindi nell’urto elastico frontale, la sferetta inverte la velocità.

Se invece l’urto con la parete è inclinato,  la sferetta si riflette con un angolo uguale a quello d’incidenza (come avviene per la riflessione della luce).

Infatti basta immaginare di scomporre la velocità iniziale in due componenti, 

Vox parallela alla parete e Voy ortogonale.

 Dopo l’urto la componente ortogonale si inverte e quella parallela rimane inalterata ed è facile dimostrare che l’angolo di riflessione è uguale a quello d’incidenza. 

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L'energia elettrica spiegata per via sperimentale

L'ENERGIA ELETTRICA INTRODOTTA SUBITO PER VIA SPERIMENTALE

Con questa esercitazione si vuole introdurre l’energia elettrica, di cui ancora non si è parlato e si utilizza una piccola lampada (di un proiettore da laboratorio) sulla quale si legge  6 V / 5 W che inseriamo nel circuito solito, ma per ora senza accenderla. L’alimentatore è spento e il cursore del reostato è vicino al morsetto doppio D. 

Propongo agli allievi una prova di collaudo, per verificare che ciò che è scritto sulla lampada corrisponde a verità.

Sul primo valore 6 V non ci sono dubbi. E’ la tensione di lavoro normale. Se vogliamo che la lampada faccia la sua giusta luce, la tensione  ai suoi estremi dev’essere 6 V. Se fosse minore la lampada farebbe meno luce o apparirebbe addirittura spenta e se fosse maggiore di 6 V, il suo filamento verrebbe bruciato.

Ma cosa vorrà dire 5 W ? Gli allievi sanno già dalla meccanica che il Watt è l’unità di misura della potenza meccanica. 1 W = 1 Joule / secondo e possiamo immaginare che questa lampada da un generatore a 6 V dovrebbe assorbire un’energia di 5 Joule per ogni secondo di funzionamento. Come misureremo questa energia ?

Per fare un altro piccolo passo avanti,  ricordo che la tensione  V  misurata  dal voltmetro, per definizione, è uguale al rapporto fra il lavoro ' L ' che fanno le forze elettriche per spostare una carica  ‘  q ' e la carica stessa : V = L / q.

Quindi possiamo calcolare L = V _* q.  La  d.d.p. è   6 V   (ce lo garantisce il voltmetro),  ma  come  misurare quanta carica q viene spostata attraverso il filamento  della  lampada in un dato tempo ?

 Basterebbero l'amperometro A  ed .... un contasecondi.

Infatti, dato che l'intensità di una corrente elettrica è definita come rapporto fra la carica q  che  attraversa una sezione qualsiasi   del filamento  in  un  certo tempo t ed il tempo stesso, i = q / t, possiamo ricavare  :  q = i _* t.   Quindi risulta  :  

                          L = V * q = V _* i _* t .

Utilizzeremo questa importantissima relazione per calcolare l'energia elettrica assorbita in un tempo ' t ' o meglio ancora senza misurare il tempo t, ricavando direttamente la potenza :

W = L / t = V _* i _* t / t  =  V _* i

Il contasecondi non sarà necessario.  Per controllare che la potenza nominale della lampada sia proprio 5 W , basteranno l’amperometro e il voltmetro.

Possiamo accendere la lampada e CONTROLLARE.

Ecco i risultati delle nostre misure :

V = (6 ± 0.1) V ,    i = (0.85 ± 0.01)  A  ,   W = (5.1 ± 0.1)  W

Con un errore relativo di circa il 2 % abbiamo ammesso che il costruttore della lampada ha fatto il suo dovere e il collaudo ha dato esito positivo.

Anche dei profani sanno che le lampade  che  abbiamo in casa  hanno potenze  che  vanno  dai 15 W  ai 100 W mentre lo scaldabagno (elettrico) ha una potenza che può andare dai 1000 ai 2000 W  (cioè 1 kW  e  2 kW).

Un climatizzatore  può  avere anche potenze  superiori ai  3 kW  e  può capitare che   il   limitatore di  corrente scatti, se richiediamo più di 5 kW.

Al variare della potenza, varia la corrente assorbita (dato che : W = V_* i).  Se abbiamo la necessità di utilizzare una potenza superiore, dobbiamo modificare il contratto con la Società elettrica, che ci cambierà  il  limitatore, ma ci farà pagare un po’ di più perché sulle linee dovrà mantenere una maggior corrente ed  aumenterà  anche la frazione dell'energia elettrica che si trasformerà in calore sulle linee che inevitabilmente hanno  una  resistenza elettrica.

Anziché in Joule, l'energia elettrica viene spesso espressa in  kWh  (leggi chilowattora), essendo 1 kWh = 1000 Watt _* 1 h = 1000 J/s _* 3600 s = 3.600.000 J.

L'uso del  kWh consente di esprimere l'energia elettrica con numeri  non  troppo grandi. Anche la famiglia più modesta, in 1 mese assorbe più di 1 miliardo di Joule (pari a 280 kWh).

Se una singola famiglia vuole disporre di una potenza di 5 kW,  in un edificio con 6 appartamenti si  richiedono 30 KW e in un grattacielo ?

Per produrre 1 kWh la Società elettrica deve bruciare circa 1 litro di petrolio.

Più energia elettrica assorbiamo, più inquiniamo.

La formula della potenza elettrica (W = V _* i), ci fa anche capire il motivo per cui l'energia elettrica fra due  centri abitati non troppo vicini, venga fatta viaggiare ad alta tensione. A parità di potenza W , se la tensione V  è alta, la corrente  è  più piccola e risulta così minore la frazione dell'energia elettrica trasformata in calore lungo le linee.

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Una grandezza scalare (la pressione) spesso considerata (per comodità) vettoriale.

UNA  GRANDEZZA  SCALARE  CHE A VOLTE  VIENE QUASI CONSIDERATA COME SE FOSSE UN VETTORE : LA PRESSIONE

Anche se ancora non sa cosa sia veramente la grandezza fisica pressione un giovane allievo  intuisce che la pressione che il liquido esercita nel punto 2 sia maggiore di quella nel punto 1.

Se poi  si chiede se la pressione esercitata da un libro su un piano orizzontale sia la stessa di quella esercitata da due libri, sicuramente non sbaglierà. Dirà giustamente che p₂ > p₁.

Sarà  facile  fargli  capire che  sulla neve  una  donna non può andarci con i tacchi a spillo, ma con le racchette o gli sci,  in modo che il suo peso sia distribuito su una superficie maggiore.

S’ intuisce così facilmente che la pressione esercitata  da  un corpo debba dipendere non solo dal suo peso, ma anche dall’area  della superficie su cui viene esercitata.

L’allievo, anche quello meno giovane, forse darà una risposta sbagliata quando gli mostreremo  due recipienti cilindrici di sezione di base molto diversa contenenti ciascuno lo stesso liquido, allo stesso livello e gli chiederemo cosa succederà se  si apre il rubinetto di comunicazione che c’ è   sul  fondo.

Quale dei due esercita maggior pressione sul fondo? Dovrebbe essere quello che .. affoga l’altro. Proviamo ad aprire il rubinetto? Cosa succede? E’ incredibile! Il liquido non si muove. La pressione sul fondo di ciascuno   è   la  stessa e dipende solo dal livello del liquido (e dalla sua densità).

E’ quello che dimostreremo e che va sotto il nome di Legge di Stevin (chiamato da noi italiani anche Stevino dal nome latino Stevinus).

Facciamo un ’ ultima domanda.

La pressione esercitata dalla forza  F  sulla  superficie  disegnata   è maggiore nel primo o nel secondo disegno? Quale delle due componenti di F esercita la pressione F_n o F_// ? Siamo certi della  risposta corretta e saremo pronti per dimostrare la Legge di Stevin (qui non lo faremo)   

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