Urto elastico fra due pendoli

URTO  ELASTICO FRA DUE PENDOLI (DI CUI QUELLO COLPITO INIZIALMENTE A RIPOSO)

(Si tratta di un problema facile, ma è utile per allenarsi con i principi di conservazione della meccanica)

La  sferetta  di un pendolo  di  massa  m₁  e  lunghezza  Lo,  viene  abbandonata  da un'altezza ho < Lo  e colpisce il pendolo di massa m₂, inizialmente fermo.

Nell’ipotesi che l’urto sia elastico, viene calcolata la velocità V_o1 con cui m₁ colpisce m₂, le velocità V₁  e  V₂ delle due masse subito dopo l'urto  e  le due  altezze massime  h₁  ed  h₂  raggiunte dalle due masse, dopo il primo urto.

Con i risultati viene verificata la conservazione della quantità di moto e dell'energia.

Ed ecco un esempio numerico :

Dati : m₁ = 0.2 (Kg) , m₂ = 1 (Kg) , Lo = 1.2 (m) , ho = 0,2 (m),  

Noto  ho si può scrivere :  (1)   m_1*g_*ho = m_1*V_o1²  / 2  da cui deduciamo il valore di V_o1 che risulta :

V_o1 =    = 1. 98  (m/s)

La massa m₁ colpisce con questa velocità la massa m2 ferma.

Le due velocità finali le calcoleremo con le ben note formule dell’urto centrale elastico :

V₁ = (m₁-m₂)_*V_o1 / (m₁ + m₂) = ( 0.2 - 1 )_*1.98 / 1.2 = - 1.32  (m/s)  (negativa, quindi m1 rimbal

za all’indietro).

V₂ = 2_*m_1*V_o1 / (m1+m2) = 2_*0.2_*1.98/1.2  =  0.66  (m/s)  (positiva, quindi verso destra)

Le altezze raggiunte dopo il primo urto, si calcolano con la conservazione dell’energia  :

m_1*V₁² / 2 = m_{1 *} g _* h_{1  ,} quindi  risulta : h₁ = V₁² / (2_*g) = 0.089 (m) , (a sinistra della verticale)

m_2*V₂² / 2 = m_{2 *} g _* h_{2  ,} quindi  risulta : h₂ = V₂² / (2_*g) = 0.022 (m) , (a destra della verticale)

Qo = m1*Vo1 = 0.2 * 1.98 = 0.396 (Kg_*m/s) ; 

Q_Finale = m_1*V₁ + m_2*V₂ = - 0.2_*1.32 + 1_*0.66 = 0.396  (kg*m/s)

m_{1 *} g _* ho = 0.2_*9.8_*0.2 = 0.392 (J)

E_{cin finale}  =  m_1*V₁² / 2   +   m_2*V₂² / 2  = 0.392 (J)

Se le sferette hanno la stessa massa, dopo l’urto m₁ si ferma ed m₂ raggiunge la stessa altezza ho da cui era partita m₁.