IL CENTRO DI MASSA

UN PUNTO  DI  UN CORPO MOLTO IMPORTANTE (CHE PUO’ ANCHE NON APPARTENERGLI) : IL  CENTRO  DI  MASSA

Il centro di massa di un corpo è quel punto nel quale  è  concentrata tutta la massa  (e in pratica, normalmente, anche tutto il suo peso).

Ad es. se consideriamo un'asticella di sezione costante  ed omogenea, è facile capire che il baricentro cade nel suo centro.

Ed infatti se poniamo un dito in quel punto, starà in equilibrio.

Una lastra di forma geometrica regolare ha il centro  di  massa nel suo centro di simmetria.

Se la lastra è di forma irregolare,  basterà  sospenderla per due punti diversi. Nel  punto  d'incontro delle due verticali troveremo il suo baricentro.

Non sempre il baricentro di un corpo è un suo punto.  E' facile  ad es. capire che il baricentro di un anello omogeneo e di sezione costante  cade  nel  suo  centro,  e  questo  è  un  punto che non appartiene all'anello.

Ma sarà di grande utilità, per gli sviluppi futuri, poter  calcolare le coordinate x_G  ed  y_G  del baricentro di un insieme di punti materiali, di cui sono note le singole coordinate e le masse .

Immaginiamo quindi  una massa costituita da un numero N di punti materiali, di masse m_1, m₂ , … e coordinate (x₁,y₁),  (x₂,y₂) , ecc... , (e P₁, P₂ ,.. siano i rispettivi pesi).

Abbiamo indicato con E la forza equilibrante, d’intensità uguale al peso totale, quindi :

E  =  P₁  +  P₂  +  ... ecc.

 Dato che la lastra è in equilibrio, il momento di tutte queste forze, rispetto ad un punto qualunque, deve essere nullo. Se, come polo dei momenti scegliamo l'origine O degli assi e assumiamo come positivo il verso antiorario, scriveremo  :

E_*x_G  -  P_1*x₁  -  P_2*x₂ - ...  =  0,  per cui si ha  :   x_G = (P_1*x₁ + P_2*x₂ + ...) / (P₁ + P₂ + ...)

Dividendo numeratore e denominatore per ' g ' otterremo  :

x_G  =  (m_{1 *} x₁  +  m_{2 *} x₂  + ...)  /  (m₁  +  m₂ + ---)  e analogamente

                          y_G  =   (m_{1 *} y₁  +  m_{2 *} y₂  + .......) / (m₁ + m₂ + ...)

Per una lastra di spessore costante, il centro di massa cade ovviamente a metà spessore.

Dato che le masse sono proporzionali sia al volume sia alla superficie, ad esse potremo sostituire i volumi o le aree,  secondo ciò che si conosce (nel rapporto, le densità si semplificano)

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Segue un  esempio di applicazione delle formule trovate :

Data la struttura a L  disegnata, vogliamo calcolare le coordinate del suo centro di massa.

 

x_G  =   (m_{1 *} x₁  +  m_{2 *} x₂  + .......)  /  (m₁  +  m₂ + ...  )

y_G  =   (m_{1 *} y₁  +  m_{2 *} y₂  + .......) /  (m₁  +  m₂  + ... )

Ricordiamo che : m = densità_*Volume = d _* V = d _* A _* z   (d e lo spessore z si semplificano nel rapporto).

A₁ = 20_*4 = 80  (cm² )                     (fa le veci di m₁, ed ha come coordinate (10,10)).

A2 = 8 _* 4 = 32  (cm²)                      (fa le veci di m₂, ed ha come coordinate (18,4)  per cui si ha :

x_G = (A_1*x₁ + A_2*x₂) / (A₁ + A₂) = (80_*10 + 32_*18) / (80+32) = (800+576) / 112 = 12.3

y_G = (A_1*y₁ + A_2*y₂) / (A₁ + A₂) = (80_*10 + 32_*4) / (80+32)   = (800+128) / 112 =  8.3

Come si può capire il centro di massa è un punto che non appartiene alla L perché le sue coordinate sono esterne.

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LA RIFLESSIONE TOTALE

LA  RIFLESSIONE  TOTALE

Se la luce passa dal mezzo  più  rifrangente  (es. vetro)  a  quello meno  rifrangente, (ad es. 

aria), si allontana dalla normale  (e percorre il cammino inverso rispetto  al  passaggio  

dall'aria al vetro (PRINCIPIO D'INVERTIBILITA' DEL CAMMINO OTTICO).

E' facile capire  che  il  nuovo  indice di  rifrazione  è  l'inverso  di quello del caso del passaggio della luce nel senso inverso, infatti ora si ha : sin (i) / sin (r) = v / c = 1 / n.

L'angolo i (Max) = L per cui risulta r = 90° è detto ANGOLO LIMITE  e può essere calcolato nel seguente modo :

             

sin(L) / sin(90°) = sin(L) / 1 = 1 / n

Ad es. nel caso di vetro-aria, dato che  n = 1.53, risulta L =40,8°.

Se fosse i > L  (es.50°), risulterebbe :

 sin (50°) / sin (r) = 1 / n = 0.65 e si otterrebbe : sin (r) = 1.17.

Ma il seno di un angolo non può essere maggiore di uno!  

Quindi il raggio non può rifrangersi nell'aria, ma  si  riflette nel vetro con un angolo uguale a quello di incidenza.

Con un prisma di vetro avente per sezione un triangolo rettangolo isoscele, è possibile deviare  di  90° un raggio di luce,  che incide sulla faccia ipotenusa con un angolo di  45° (quindi maggiore dell'angolo limite, per cui subisce la riflessione totale, deviando quindi di 90°.

Se invece  si fa incidere la luce sulla faccia ipotenusa del prisma si può far deviare il raggio di luce di 180°,  perché  subisce due riflessioni totali.

 Nei  binocoli  serve  per  capovolgere l'immagine che viene così raddrizzata, mantenendo  la  luminosità  della  sorgente.

I migliori specchi  non  riflettono mai la luce senza l'assorbimento di una parte.

Le fibre ottiche usano sottili tubi di quarzo o di plastica nei quali la luce subisce una serie di riflessioni totali e le applicazioni principali sono quelle della medicina e della telefonia. La fibra ottica usa tubicini di diametro inferiore al decimo di millimetro.

Gli unici assorbimenti possono essere dovuti a impurezze.

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LA RIFRAZIONE DELLA LUCE

RIFRAZIONE DELLA LUCE

Se la luce attraversa la superficie di separazione di due mezzi trasparenti diversi, subisce una deviazione.

Si usa spesso un semi cilindro di vetro  (o di plexiglass),  col quale è abbastanza agevole la misura dei due angoli (formati con la normale nel punto d'incidenza : ' i ' detto  angolo  d'incidenza  ed  ' r ' angolo di rifrazione.

Se la velocità  v₂  con cui  la luce si propaga  nel  secondo mezzo (come avviene ad es. nel vetro) è minore della  v₁  nel primo  mezzo (che nel nostro caso è l'aria), la  luce  si   avvicina   alla  normale ' n ' per cui risulta che l'angolo di rifrazione ' r '  è minore  di  quello d'incidenza ' i ' e viceversa nel caso contrario.

L'esperienza dimostra che  al variare  dell'angolo  d'incidenza ' i ' fra zero e 90 gradi,  varia  anche l'angolo di rifrazione ' r ', ma che, per  ogni  determinata  coppia di mezzi, si  mantiene  costante il rapporto :

sin (i) / sin (r) = v₁ / v₂ = n

Alla costante ' n '  si dà il nome INDICE DI RIFRAZIONE  del  mezzo (2) in cui la luce arriva, rispetto al mezzo (1) da cui proviene.

Spesso il mezzo da cui proviene la luce è l'aria, e in questo mezzo (come nel vuoto)  la  velocità di propagazione è massima e si indica con ' c '.

Quindi scriveremo : sin (i) / sin (r)  =  n  =  c / v  essendo ' v ' la velocità con cui la luce si propaga nel mezzo (2) in cui arriva.

Il massimo angolo d’incidenza è 90° e gli corrisponde il massimo angolo di rifrazione (caratteristico del materiale trasparente usato).

Quando al tramonto molti raggi di luce solare colpiscono la superficie del mare tangenzialmente, il sub vede la luce rifratta.

Un'analogia meccanica, dovuta ad Einstein, ci permetterà di capire e di ricordare meglio il fenomeno della rifrazione della luce.

Immaginiamo che due uomini trasportino un lungo palo procedendo di pari passo.

Finché entrambi camminano fuori dall'acqua, il palo viene spostato parallelamente a se stesso, ma  appena  uno dei due entra nell'acqua, comincia a rallentare, il palo ruota e riprenderà a traslare in  una nuova  direzione  quando  anche l'altro  uomo  entrerà con i piedi nell'acqua. Così la luce che nell'aria si propaga con una velocità maggiore che non nell'acqua,  quando attraversa la superficie di separazione di un mezzo in cui rallenta, tende ad avvicinarsi alla normale nel punto d'incidenza.

Si capisce che se l'angolo d'incidenza è nullo, non si ha rifrazione. In tal caso, nell'esempio precedente, i due uomini entrano nell'acqua contemporaneamente e rallentano, ma il palo non ruota.

Per la luce, analogamente, quando l'angolo d'incidenza è nullo, lo è anche quello  di rifrazione ed il raggio luminoso prosegue nella stessa direzione.

Infine vogliamo cercare di capire  perché  una lente  biconvessa ha la proprietà di  piegare un fascio di raggi luminosi paralleli  all'asse ottico, facendoli convergere verso di esso."

Ad es. il raggio AI, incontra nel punto ' I ' la superficie di separazione aria-vetro e dato che questo materiale  è  più  rifrangente dell'aria,  deve avvicinarsi dalla normale nel punto d'incidenza per cui subisce una prima deviazione verso l'asse ottico.

Il raggio rifratto I - I', giunto nel punto I'  vi incontra la superficie di separazione vetro-aria,  ma ora va verso il mezzo meno rifrangente (qual'é l'aria, rispetto al vetro)  e  nell'emergere si deve allontanare dalla normale, piegando ancora verso il basso, quindi ancora verso l'asse ottico.

Con un ragionamento analogo è possibile capire perché una lente biconcava risulta 'divergente'.

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Tempo impiegato da una massa che scivola su superficie cilindrica (ANALISI NUMERICA)

CALCOLIAMO  IL TEMPO  DI SCIVOLAMENTO  SU RAMPA CIRCOLARE LISCIA CON L’ANALISI NUMERICA

Utilizzando l’analisi numerica, che descriveremo nella videata successiva, calcoleremo il ‘tempo’ di  scivolamento di una sferetta (di dimensioni trascurabili in confronto al raggio R di una guida circolare di attrito trascurabile), calcoleremo anche la velocità finale (meno importante).

Ecco un elenco di valori per R = 2 (m) : 

Delle due componenti P_x  e  P_y del peso della sferetta, la tangenziale P_x = P _* sin (β) è quella che accelera il suo moto, ma dato che varia al variare dell’angolo β, non sapremmo calcolare il tempo per arrivare sul piano orizzontale.

Ma se immaginiamo di dividere l’arco in un numero grandissimo di parti, in ciascuna di esse l’accelerazione a = g_*sin(β) potrà essere ritenuta costante e potremo applicare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato.

L’ errore sarà tanto minore, quanto maggiore sarà il numero degli archetti.

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LA PROPRIETA' DELLA STROZZATURA DI UN TUBO

La proprietà della strozzatura di un tubo

Come  conseguenza  del fatto che un liquido perfetto  è  incomprimibile,  abbiamo  visto  che la portata :  Q = S_1*v₁ = S_2*v₂   è  costante in tutte le sezioni .

Infatti se consideriamo un intervallo di tempo infinitesimo dt, la sezione  S₁  viene attraversata da un volume di liquido S_1*v_1*dt, mentre la sezione  S₂  viene  attraversata dal volume :  S_2*v_2*dt  (essendo v₁  e  v₂  le velocità del liquido nelle due sezioni) .

Ma, data l'incomprimibilità del liquido, i due volumi sono uguali, quindi (dividendo per dt), risulta :

(1)   v_1*S₁ = v_2*S₂.

La (1) ci dice che le velocità del liquido sono inversamente proporzionali alle sezioni del tubo .

(Se ad esempio la sezione diventa la metà o un terzo, la velocità diventa doppia, tripla, ecc.) .

Di conseguenza in una strozzatura, dato che la sezione si restringe, la velocità aumenta.    

Vogliamo dimostrare che, la pressione, invece .. diminuisce.

Per semplicità consideriamo un tubo orizzontale, per cui  le altezze  h₁  ed  h₂  delle due sezioni sono uguali. Nell'applicare il Teorema del Bernoulli non le scriveremo  (dato  che  si  elidono)  ed avremo :

v₁²  /  (2 _* g)   +   p₁ / (d _* g)   =   v₂²  /  (2 _* g)  +  p₂  / (d _* g)

e dato che v₁ < v₂, risulterà  :  p₁ > p₂ .  (Es. 2+8 = 6+x ,   2 < 6  quindi sarà  x < 8 )

Si vede così che in una strozzatura, mentre la velocità aumenta, la pressione diminuisce. Se la sezione finale è in comunicazione con l'atmosfera, in S₂ la pressione risulta minore di 1 atm e se vi si collega un tubicino, il liquido non esce, perché, al contrario, lì c'è un'aspirazione.

Possiamo vedere l'effetto anche  in aria. Se teniamo fermo con le mani il bordo di un foglio di carta in posizione orizzontale, lasciando pendere l'altro estremo,  e  proviamo  a soffiare al di sopra del foglio, vedremo che per effetto della diminuzione della pressione esso tende a sollevarsi.

  

L'aspirazione della benzina nel carburatore di un autoveicolo è dovuta  appunto alla strozzatura ed anche l'aspiratore ad acqua di Bunsen è basato sullo stesso principio.

Il tetto di una casa, investito dal vento, provoca,  a causa della diminuzione della sezione S dei filetti fluidi, un aumento della velocità del- l’aria stessa e quindi una diminuzione della pressione nella parte al di sopra del tetto,  che potrebbe diventare  pericolosamente minore  di  quella interna alla casa, da far volare il tetto.

Ancora  col  teorema del Bernoulli  si  può spiegare il fatto che una barca a vela possa andare controvento.

L'aria, che scorre più velocemente  sulla  parte  convessa della vela, provoca una forza in avanti.

Anche  le ali  degli aerei sono sagomate  in  modo tale che il restringimento dei filetti fluidi provochi una forza ascensionale.

La stessa cosa avviene in natura per le  ali  dei  volatili.

Con questo stesso disegno possiamo capire il fatto che se un vento molto veloce di un  tifone  colpisce  una  vetrata  parallelamente ad essa, potrebbe farla esplodere,  per cui è consigliabile aprirla in modo  che  la pressione  all'interno  possa  uguagliare quella all'esterno.

Un vento frontale potrebbe invece farla ' implodere ' (meglio non stare a guardare).

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Il tubo di Pitot (Misuriamo la velocità della Ferrari in Formula uno)

MISURIAMO LA VELOCITA’ DELLA FERRARI  IN  FORMULA 1  COL  TUBO  DI   PITOT

Ecco  un'altra  applicazione  geniale  del Teorema  di  Bernoulli che permette di misurare la velocità relativa  V_x  di   un  fluido, di una nave, di un aereo, dell'aria nelle gallerie del vento,  ....

Nella sezione ' 1 ' del tubo a U la velocità è praticamente coincidente con V_x . mentre nella sezione ' 2 ' la velocità è nulla.

Le due sezioni ' 1 '  e  ' 2 ' sono praticamente allo stesso livello, ma le pressioni sono diverse :  p₂ > p₁ .

Applichiamo quindi il Teorema del Bernoulli alle due sezioni :

(1)   h₁  +  p₁ / (d _* g)  +  v₁² / (2 _* g)  =  h₂  +  p₂ / (d _* g)  +  v₂² / (2 _* g) .

Dato che il tubo è orizzontale le altezze  h₁  ed  h₂  sono uguali, si ha poi : 

v₁ = V_x  , v₂ = 0,  quindi la  (1)  diventa :  (2)   p₁ - p₂  =  - d _* V_x² / 2 . 

Da qui ricaviamo  :   V_x²  = 2 _* (p₂ - p₁) / d , e  infine :

V_x²  =   2_*d_Hg*g_*h / d ,

(d_Hg / d  =  densità mercurio/densità aria = 10900)

Il tubo  ' 2 ' normalmente è posizionato sul muso del veicolo,  mentre  la  sezione ' 1 '  è posta di fianco.

Esempio  : Se h = 4  (cm) = 0.04  (m)  ,  risulta : V_x = 92.4  (m/s)  = 333  (km/h)

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Dinamica dei liquidi (Teorema del Bernoulli)

DINAMICA DEI LIQUIDI E TEOREMA DEL BERNOULLI

Immaginiamo un liquido perfetto, quindi  incomprimibile e privo di attriti, che  scorre in un condotto  e  che il regime sia stazionario, cioè  non  ci siano variazioni nel tempo.

Essendo nulli gli attriti, le sole  forze  agenti sul liquido contenuto fra le due sezioni  S₁  ed  S₂  sono  :  il peso  e  le forze dovute alle pressioni.

Se  consideriamo  un  intervallo  di  tempo   infinitesimo  dt, la  sezione  S₁  viene  attraversata dal  volume di  liquido  :  S_1*v_1*dt,  mentre la sezione  S2 viene  attraversata  dal volume  :  S_2*v_2*dt, (essendo  v₁ e v₂ le velocità del liquido nelle due sezioni).

Data l'incomprimibilità del liquido  i  due volumi sono uguali, quindi   :  

                                                                 (1)    v_1*S₁ = v_2*S₂.

La (1) ci dimostra che le velocità  del  liquido sono  inversamente  proporzionali  alle  sezioni del tubo.  (Se  ad  esempio  la  sezione diventa la metà  o  un  terzo,  la  velocità  del   liquido  diventa doppia, tripla, ecc.) 

La massa ' dm '  di liquido (di densità ' d ') che nel tempo ' dt ' ha attraversato  ciascuna delle  due sezioni considerate, è data da :

  (2)    dm  =  d _* S_{1 *} v_{1 *} dt  =  d _* S_{2  *} v_{2 *} dt.

Il lavoro fatto dalla forza peso del liquido nel tempo dt   :   dL₁ = (dm)_*g_*h₁ - (dm)_*g_*h₂ , perchè  tutto  è  avvenuto come se la massa  'dm'  di  liquido fosse passata dal livello h₁  di  S₁  al livello h₂  di  S₂.

Per calcolare il lavoro fatto dalle forze di pressione, si deve capire che ogni sezione del liquido è sottoposta ad una forza nel verso del moto ed una in verso opposto  esercitata   dal   liquido che segue.

La forza F₁ = p_1*S₁  si sposta  verso destra di un tratto dx₁, mentre  la forza  F₂ = p_2*S₂  'arretra' del tratto dx₂. Quindi il lavoro fatto da queste due forze è dato da :

dL₂ = p_1*S_1*dx₁ - p_2*S_2*dx₂ = p_1*S_1*v_1*dt - p_2*S_2*v_2*dt = dm_*(p1-p2)/d.

Il  lavoro  totale  (somma di  dL₁   e   dL₂)   è   uguale  alla  variazione  dell'energia  cinetic della masserella (dm).

E' come se questa passasse dalla velocità v₁ alla v₂, quindi : dL₁ + dL₂  =  (dm)_* (v₂² -  v₁²) / 2.

Con semplici passaggi si arriva all 'equazione :

(3)  h₁ + p₁ / (d _* g) + v₁² / (2 _* g) = h₂ + p₂ / (d _* g) + v₂² / (2 _* g) = costante

E’ questa la famosa  equazione  del  Bernoulli, che pur valendo per liquidi perfetti trova molte

applicazioni con i fluidi reali. Essa ci dice che nel regime 'stazionario' di un liquido perfetto, in tutte le sezioni, la somma di tre altezze .. è costante.

h₁  e  h₂ sono le altezze delle sezioni considerate rispetto ad un livello di riferimento arbitrario.

p₁ / (d_*g)   e   p₂ / (d_*g) sono le cosiddette ' altezze  piezometriche ' cioè le altezze che il liquido, fermo  in  un recipiente,  dovrebbe assumere,  per  esercitare  sul  fondo  la  stessa  pressione di quando è in movimento.  (Per la legge di Stevin,  una colonna di liquido fermo, di altezza h esercita  sul fondo la pressione  :  p = d _* g _* h).

Infine  i  termini    v₁² / (2_*g)      e     v₂² / (2_*g)   rappresentano   le  cosiddette  ' altezze   di  arresto '. Basta  ricordare  che  un  grave, lanciato verso l'alto con velocità v, raggiunge

un'altezza massima che vale :  v² / (2_*g).

Ecco un’applicazione numerica :

Calcolo del rendimento di un Ciclo termico (Secondo esempio)

ESERCITIAMOCI CON UN  ALTRO CICLO TERMICO E CALCOLIAMONE IL RENDIMENTO

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Calcolo del lavoro di un gas in un'espansione isobara o isoterma

CALCOLO DEL  LAVORO IN UNA ESPANSIONE ISOTERMA APPROSSIMATO E RIGOROSO

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