Dinamica dei liquidi (Teorema del Bernoulli)

DINAMICA DEI LIQUIDI E TEOREMA DEL BERNOULLI

Immaginiamo un liquido perfetto, quindi  incomprimibile e privo di attriti, che  scorre in un condotto  e  che il regime sia stazionario, cioè  non  ci siano variazioni nel tempo.

Essendo nulli gli attriti, le sole  forze  agenti sul liquido contenuto fra le due sezioni  S₁  ed  S₂  sono  :  il peso  e  le forze dovute alle pressioni.

Se  consideriamo  un  intervallo  di  tempo   infinitesimo  dt, la  sezione  S₁  viene  attraversata dal  volume di  liquido  :  S_1*v_1*dt,  mentre la sezione  S2 viene  attraversata  dal volume  :  S_2*v_2*dt, (essendo  v₁ e v₂ le velocità del liquido nelle due sezioni).

Data l'incomprimibilità del liquido  i  due volumi sono uguali, quindi   :  

                                                                 (1)    v_1*S₁ = v_2*S₂.

La (1) ci dimostra che le velocità  del  liquido sono  inversamente  proporzionali  alle  sezioni del tubo.  (Se  ad  esempio  la  sezione diventa la metà  o  un  terzo,  la  velocità  del   liquido  diventa doppia, tripla, ecc.) 

La massa ' dm '  di liquido (di densità ' d ') che nel tempo ' dt ' ha attraversato  ciascuna delle  due sezioni considerate, è data da :

  (2)    dm  =  d _* S_{1 *} v_{1 *} dt  =  d _* S_{2  *} v_{2 *} dt.

Il lavoro fatto dalla forza peso del liquido nel tempo dt   :   dL₁ = (dm)_*g_*h₁ - (dm)_*g_*h₂ , perchè  tutto  è  avvenuto come se la massa  'dm'  di  liquido fosse passata dal livello h₁  di  S₁  al livello h₂  di  S₂.

Per calcolare il lavoro fatto dalle forze di pressione, si deve capire che ogni sezione del liquido è sottoposta ad una forza nel verso del moto ed una in verso opposto  esercitata   dal   liquido che segue.

La forza F₁ = p_1*S₁  si sposta  verso destra di un tratto dx₁, mentre  la forza  F₂ = p_2*S₂  'arretra' del tratto dx₂. Quindi il lavoro fatto da queste due forze è dato da :

dL₂ = p_1*S_1*dx₁ - p_2*S_2*dx₂ = p_1*S_1*v_1*dt - p_2*S_2*v_2*dt = dm_*(p1-p2)/d.

Il  lavoro  totale  (somma di  dL₁   e   dL₂)   è   uguale  alla  variazione  dell'energia  cinetic della masserella (dm).

E' come se questa passasse dalla velocità v₁ alla v₂, quindi : dL₁ + dL₂  =  (dm)_* (v₂² -  v₁²) / 2.

Con semplici passaggi si arriva all 'equazione :

(3)  h₁ + p₁ / (d _* g) + v₁² / (2 _* g) = h₂ + p₂ / (d _* g) + v₂² / (2 _* g) = costante

E’ questa la famosa  equazione  del  Bernoulli, che pur valendo per liquidi perfetti trova molte

applicazioni con i fluidi reali. Essa ci dice che nel regime 'stazionario' di un liquido perfetto, in tutte le sezioni, la somma di tre altezze .. è costante.

h₁  e  h₂ sono le altezze delle sezioni considerate rispetto ad un livello di riferimento arbitrario.

p₁ / (d_*g)   e   p₂ / (d_*g) sono le cosiddette ' altezze  piezometriche ' cioè le altezze che il liquido, fermo  in  un recipiente,  dovrebbe assumere,  per  esercitare  sul  fondo  la  stessa  pressione di quando è in movimento.  (Per la legge di Stevin,  una colonna di liquido fermo, di altezza h esercita  sul fondo la pressione  :  p = d _* g _* h).

Infine  i  termini    v₁² / (2_*g)      e     v₂² / (2_*g)   rappresentano   le  cosiddette  ' altezze   di  arresto '. Basta  ricordare  che  un  grave, lanciato verso l'alto con velocità v, raggiunge

un'altezza massima che vale :  v² / (2_*g).

Ecco un’applicazione numerica :