MISURIAMO LA VISCOSITA' DI UN OLIO CON UNA PALLINA CHE CI CADE DENTRO

MISURIAMO  LA VISCOSITA’ DI UN OLIO CON UNA PALLINA (CONTRO LE SOFISTICAZIONI ALIMENTARI)

Una sferetta, cadendo in un fluido è sottoposta all'azione di tre forze :

1)  Il suo stesso peso  P,   2)  la spinta di Archimede  S,    3)  la  forza  d'attrito viscoso   F_a .

P - S - F_a = m _* a

Il peso P è rivolto verso il basso, mentre  F_a  ed  S  sono  rivolte verso l'alto.

P  ed  S sono costanti, mentre  la  forza  d'attrito viscoso  F_a  aumenta  con la velocità e se non si originano vortici, in accordo con la  legge  di  Stokes  è data da : 

F_a = 6_*π_*β_*R_*v 

dove R rappresenta  il  raggio della sferetta, ' v ' la sua velocità e  ' β'  il coefficiente d'attrito del liquido.

La spinta S, uguale al peso del volume del liquido spostato, è data da : S = d_Liq*V_*g , mentre  :

 P = m_*g = d_Sf*V_*g.     (d_Liq  e  d_Sf   sono le densità).

Se la velocità iniziale della sferetta è nulla, risulta  F_a = 0, e in quel momento l'accelerazione è massima :  a_Max =  (P - S)  /  m .

Fa  aumenta all'aumentare della velocità, mentre l'accelerazione diminuisce fino ad annullarsi.

 Quando a = 0  risulta :    P - S - F_a =  0  e la sferetta continua  la discesa a  velocità costante,  (questa vMax  è  la velocità di ' regime ') .

Se a = 0 quindi risulta  F_a = 6_*π_*β_*R_*vMax  = P - S    e per calcolare il coefficiente di viscosità β basterà misurare questa velocità (che diventa costante dopo pochi centimetri di discesa in un  olio),  quindi  in un tratto successivo di lunghezza h, avremo : vMax  = h / t :  

β = (P - S) /  [6_*π_*R_*vMax]

Al computer abbiamo voluto studiare il moto della sferetta nel primo tratto della discesa a partire da v = 0  fino a quando la velocià diventa costante e l'accelerazione a = 0.

Dall'inizio del moto fino all'istante in cui  a = 0, l'accelerazione   non   è  quindi costante, ma per poter usare le leggi del moto rettilineo  uniformemente  accelerato  abbiamo  diviso  il  tempo  in un  grandissimo  numero di parti in modo che  in  ciascuna l'accelerazione possa essere ritenuta costante. 

Ed ecco il metodo dell'analisi numerica,  base  di questo programma.

Dopo l'introduzione dei dati (raggio della sferetta,  densità relativa del materiale di cui è fatta, densità relativa del liquido  e  il  suo  coefficiente di viscosità  β), abbiamo inizializzato il calcolo, ponendo : t = 0,    s = 0,    v = 0,    aMax = (P - S) /  m,     vMax = (P - S) / (6_*π_*β _*R) ,

 tmax = 5 _* m / (6 _* π _*  β  _* R)   ,    dt  =  tMax/20000.

Il valore di tMax può essere giustificato dal calcolo infinitesimale.

Il seguente è l'algoritmo di base del programma.

For  t = 0  to  tMax  Step  dt

 a = (P - S - 6 _* π _*  β _* R _* v) / m

 v = v + a _* dt ,  s = s + v _* dt

 ts =  2500 + 4000 _* t / tmax,  Vs = 5500 - 4000 _* v / Vmax

 As = 5500 - 4000 _* a / aMax

 PSet (ts, Vs) , 

 PSet (ts, As)

Next t

Con un procedimento matematico rigoroso,  basato sul calcolo differenziale  abbiamo  ricavato  i valori della velocità e dell'accelerazione della sferetta immersa nel liquido :

v = (Fo / k)  _* (1 - e ^{- k * t / m} )  ,      a  =  (Fo / m) _* e ^{- k * t / m}

essendo : Fo = P - S  ,  k = 6_*π_*β_*R   , e si può capire che  (m / k)  è la COSTANTE di TEMPO . (m=d_Sf*Volume)

Volendo misurare il valore del coefficiente di viscosità di un liquido, basterà misurare il tempo che una sferetta impiega per percorrere a velocità costante una data altezza h :

vMax = h / t. Sapendo che : vMax = (P - S) / (6 _* π _* β_* R), si può calcolare il valore di β .

A queste misure sono ad es. interessati i chimici che si occupano di oli da motore (per ricerca) o di oli commestibili contro le sofisticazioni alimentari.

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