MATEMATICA : Una curva molto importante anche per la FISICA ; La Parabola

UNA CURVA MOLTO IMPORTANTE PER LA FISICA : LA PARABOLA

La parabola è il  luogo geometrico 

dei punti equidistanti da un punto 

fisso F=[0 ; 1/(4.a)]  detto fuoco e 

da una retta fissa : y = - 1/(4.a) , 

detta direttrice.

La scelta del valore 1/(4.a)  è dovuta alla 

semplicità dell'equazione finale della parabola 

che troveremo.

Dato che PF=PQ risulterà anche : PF² = PQ².

Sostituendo le coordinate, avremo  : (x - 0)² +[(y - 1 /(4.a)]² = (x - x)² + [(y + 1/(4.a)]²

Alla fine dei calcoli, si ottiene :

        

(1)       y  =  a . x²

Viceversa, un'equazione del tipo :

 y  =  a . x² rappresenta una parabola col vertice nell'origine degli  assi, il  fuoco  in  un  punto  

F dell'asse y, di coordinate :

F=[0 ; 1/(4.a)]       e  come  direttrice  la retta di equazione :   y  =  - 1 / (4.a) .

Se il valore di ' a ' è positivo, le ordinate di tutti i punti della parabola (y = a .x²)  sono positivi e 

la concavità della parabola è rivolta verso l'alto. Sarà invece rivolta verso il basso se il valore 

di  ' a '  è  negativo.

La parabola di colore rosso è la stessa di quella di colore blu (la cui equazione è : y = a . x²).

La parabola (di colore rosso) è traslata nel punto (xo,yo), ed ha rispetto agli assi  X,Y  l'equazione  
 (2)   Y = a . X².

Ma vogliamo calcolarne l'equazione rispetto agli assi x ed y.

E' facile capire che : 

      xo + X = x   ed  yo + Y = y

quindi :    X = x - xo            ed                            Y = y - yo.

Sostituendo questi valori nella (2), si ha :

 y = a.x²- 2 a.xo.x  +  a.xo²  +  yo

che è del tipo :                                     (3)   y = a.x²  +   b.x   +   c   

Se poniamo :   ∆ = b²  -  4.a.c       essendo :  b = - 2.a.xo   ,   c  = a.xo² + yo . 

le coordinate del vertice rispetto agli assi (x,y)  sono : 

xo = - b / (2.a)    ,     yo = - ∆ / (4.a)

Coordinate del fuoco : 

 xF = - b / (2.a)   ,    yF = yo  +  YF  = - ∆  / (4.a)  +   1 / (4.a)   =  ( 1 - ∆ ) / (4.a) 

Equazione della (retta) direttrice :  y  = (- 1 - ∆ )  / (4.a)  

Segue un esempio numerico :

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Matematica : COS'E' LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE? COSA SONO I FLESSI?

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Cassette di resistenze campioni, a spine o a decadi

CASSETTE DI RESISTENZE ELETTRICHE CAMPIONI, A  SPINE O A DECADI

In  molte esercitazioni di Fisica si ha la necessità di usare delle resistenze elettriche conosciute

con grande precisione ed infatti di solito nei laboratori di fisica ce ne sono di diversi tipi.

Ai tipi cosiddetti a spine appartiene il tipo schematizzato nel disegno :

Uno o più spinotti avvitati cortocircuitano delle resistenze. Nel nostro disegno viene cortocircuitata una resistenza della serie da 2 Ω per cui fra i morsetti A e B si può utilizzare una resistenza campione di :

1 + 2 + 5 = 8  Ω.

Disponendo di 4 spinotti si può realizzare una resistenza da 0 a 10  Ω con salti di 1 Ω.

Per formare una resistenza di valore zero ohm devono essere inserite quattro spine di cortocircuito,  mentre per realizzare 10 Ω  non deve essercene inserita nessuna.

In serie a questa decade delle unità si può collegare una serie delle decine, delle centinaia e delle migliaia di ohm.

Così con la decade delle decine in serie con quella delle unità, utilizzando 8 spinotti si  possono  formare tutte le resistenze comprese fra 0  e  110 Ω, con salti di 1 Ω.

La lettura però  può  risultare  scomoda  (dovendo  sommare  tutti i valori non cortocircuitati) e qualche spina, anche se ben pulita (con benzina), potrebbe non essere inserita troppo bene.

Allo scopo di limitare il numero delle spine e per non dover sommare troppi valori,  sono molto più usate le cassette di resistenze campioni a decadi rettilinee.

La singola decade è composta da 9 resistenze uguali (da 1 Ω ciascuna, se  è  quella  delle unità,

o da 10 Ω ciascuna se è quella delle decine, ecc).

Questo tipo ha un solo spinotto per ogni decade.

Spesso si ha anche la decade dei decimi di Ohm, ma non quella dei centesimi, perché le resistenze di contatto degli spinotti non risulterebbero più  trascurabili.

Analoghe alle cassette di resistenze a decadi rettilinee già descritte, sono quelle a ' decadi  circolari ', la cui manovra è molto più rapida.

I singoli valori possono essere ottenuti ' ruotando ', per  ogni  decade,  una manopola che porta una spazzola strisciante (ovviamente conduttrice), ma le più precise sono quelle a spine.

Dato che esistono anche cassette di tipo intermedio, in mancanza dello schema costruttivo, per essere certi del valore che si crede di aver formato, si consiglia di fare un controllo con un ohmetro,  sempre presente in un qualsiasi laboratorio di Fisica.

Normalmente la potenza massima dissipabile nelle cassette di resistenza non è superiore ad  1 (W) ed è bene non dimenticare che l'intensità della corrente massima che  possono sopportare si ricava dalla formula :

                                             

   
dato che W = V_* i = i²_*R.

Per una data potenza, la corrente massima i_(Max) che possono sopportare diminuisce all'aumentare della resistenza.

Così  se la potenza massima dissipabile è di 1 W  per una R = 100 Ω,  la corrente massima  è  di 0.1 (A), mentre se R = 10000  Ω, la corrente massima vale 0.01 A.

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MISURIAMO LA PERMEABILITA' MAGNETICA DI UN MATERIALE.

MISURA DELLA PERMEABILITA' MAGNETICA DI UN MATERIALE

Prima di parlare della misura cerchiamo di capire il significato della grandezza fisica 'permeabilità'.

Immaginiamo quindi d'introdurre  un  cilindro di ferro  all'interno di un campo magnetico uniforme.

Il ferro si  magnetizzerà  per  'induzione'. Sulla sua base affacciata al  polo Nord, nascerà un polo Sud e un polo Nord sull'altra.

Il campo generato dal ferro magnetizzato,  si sovrappone,  (sommandosi  vettorialmente)  con  quello  preesistente  (che  abbiamo  voluto supporre uniforme).

Non dovrebbe essere difficile capire che, dove  i due campi risultano di verso opposto, il campo totale risulterà indebolito e dove hanno lo stesso segno, rinforzato.

Quindi  all'esterno  della  superficie  laterale  del cilindro  il  campo  magnetico   risulterà   indebolito, mentre risulterà  rinforzato  all'interno del  cilindro  di  ferro  e  nelle zone  affacciate  alle due basi del cilindro (dette traferri).

Ecco perché  si  dice che il ferro, le sostanze ferromagnetiche ed alcune leghe particolari, tendono a concentrare  nel  loro  interno  le linee di forza  del campo magnetico  nel  quale  si trovano immerse, rinforzandolo dove interessa (nei traferri).

Si dice che il ferro e le sostanze ferromagnetiche hanno  un'alta 'permeabilità magnetica', perché si  lasciano 'permeare' cioè attraversare, meglio dell'aria, dalle linee di forza del campo magnetico.

Dopo questa premessa passiamo alla misura di permeabilità.

Lo scopo di questa esercitazione è la misura della permeabilità magnetica assoluta  del  materiale ferromagnetico del  nucleo  sul quale sono strettamente avvolte due bobine,  (la più lunga di poche spire  e quella più corta di molte).
La lunghezza della bobina più lunga dev'essere almeno 10 volte maggiore del  diametro  per poterla considerare  solenoide  indefinito,  per cui al suo interno B1 = B2 = µ _* N_{1 *} i1  /  L  essendo  L  la lunghezza  del  solenoide e ' µ ' la permeabilità assoluta del nucleo ferromagnetico.

Indichiamo con R₂ la resistenza elettrica somma di quella delle N₂ spire della bobina e del galvanometro balistico e con S l'area (media) di una spira.

Aprendo il tasto t, interrompiamo la corrente elettrica (primaria) che attraversa il solenoide.
La variazione del flusso concatenato con le N₂ spire della bobina, vi genera una  f.e.m. indotta, che  produrrà  un impulso di corrente nel galvanometro balistico.

(Per essere balistico il suo periodo di oscillazione dev'essere molto maggiore della durata dell'impulso di corrente (come un pugile peso massimo che riceve un pugno tremendo, l'incassa e cade .... dopo. Rivedere il Post sulla misura di B).

Dalla misura della  sua  deviazione massima, se  è  nota la costante balistica, si  dedurrà  il  valore della carica totale  Q₂  che lo ha attraversato.
|f.e.m. | =  d∅ /dt =  N_2 * B_2 * S / dt ;   |f.e.m.| _* dt = i_{2 *} R_2 *  dt  essendo : i_{2 *} dt = Q₂ ,
Segue che R_2*Q₂ = N_2*B_2*S   (e sapendo che : B₂ = B₁ =  µ _* N_1 * i₁ / L  ,  si puo ricavare 

 Ecco i risultati di una nostra vecchia misura :

  N₁ = 100 , L₁ = 0.4  (m) , S = 0.001 (m²) , i₁ = 1 (A) , N₂ = 1000 , R₂ = 20 (Ω) ,   k = 0.002 C / div , nMax. = 10

  Risultato : µ = 1.6*10^-3  (Henry/m) , µ (relativo) = 1270

N.B. cercare di non confondere i1 con i2 (che è la corrente indotta)

Come  abbiamo  detto    in    un'esercitazione  precedente,    il   valore   della  costante  balistica  

k  = Q_o / nMax  varia  al variare della resistenza totale del circuito di cui il galvanometro fa parte e dato che usiamo la carica di un condensatore di capacità nota,  la cui resistenza elettrica (in corrente continua) è grandissima, (teoricamente infinita, se l'isolante del condensatore fosse perfetto), al  momento dell'apertura del tasto t  si aprirà il circuito del galvanometro balistico.

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MISURIAMO L'INTENSITA' B DI UN CAMPO MAGNETICO

MISURA DELL’INTENSITA’ DI UN CAMPO MAGNETICO

Una bobina di filo di rame, avente N spire, ciascuna di area media S, è immersa fra le espan-

sioni polari  di un campo magnetico uniforme, di cui si vuol misurare l'intensità B.

Estraendola  dal  campo magnetico, il  flusso  concatenato con le sue spire passerà dal valore iniziale N*B*S a zero.

 Questa variazione di flusso genererà una f.e.m. e quindi una corrente indotta.

L'impulso di corrente attraverserà il galvanometro  che  si comporterà da balistico se il suo periodo di oscillazione è molto maggiore della durata dell'impulso.

 In  queste condizioni,  la  sua deviazione massima sarà proporzionale alla carica complessiva 

Q = i _* t.

Quindi risulterà :  i _* t = Q = k _* nMax , (avendo  indicato  con ' t ' la  durata  dell'impulso di corrente e con ' k ' la costante balistica del galvanometro).

Poichè : | f.e.m. _* t | = i _* R _* t = Q _* R = k _* nMax _* R  =  N _* B _* S,  potremo calcolare il valore di B :

B =  k_*nMax_*R / (N_*S)

La costante balistica  'k' può essere misurata (prima o dopo questa esperienza) scaricando sul galvanometro una carica conosciuta,  (ad es. quella presente sulle armature di un condensatore di capacità ' C_o '  conosciuta, caricato ad una d.d. p. V_o  conosciuta).

 Quindi : Q_o = C_{o *} V_o  è una carica di valore conosciuto.  nMax si misura  e  k = Q_o / nMax si calcola.

Ma dato che il valore della costante balistica  k  = Q_o / nMax  varia  al variare della resistenza totale del circuito di cui il galvanometro fa parte e che nel caso  della  scarica  del condensatore  è  grandissima (teoricamente infinita se l'isolante del condensatore fosse perfetto), al  momento dell'estrazione  della bobina dal campo magnetico che si vuole misurare ,  si aprirà il circuito.

Ecco i risultati di una nostra vecchia misura :  [ k = 0.003 (C/div) ]

Dati : N= 500 , R = 20  (Ω) , S = 0.002  (m²) , nMax = 18  (div)

Risultato : B = 1.08  (Wb/m²)

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