MATEMATICA-L'integrazione per parti e per sostituzione

L’INTEGRAZIONE   PER   PARTI    (MATAMATICA)

Date due funzioni  f (x)  e  g (x), che nel seguito indicheremo semplicemente con  f  e  g, il differenziale  del loro prodotto è dato da :

d (f _* g) = f  _*   dg   +   g  _*  df    da cui si ricava :   f  _*  dg   =   d (f  _*  g)   -  g _* df . 

Integrando quest’ultima si ha :

f   è  detto   “fattore finito”  mentre  dg   è detto  “fattore differenziale”.

La  (1)  ci  dice che  l'integrale del prodotto di  un fattore finito  (f), per  un  fattore differenziale  (dg)  è uguale al prodotto del fattore finito per l'integrale del fattore differenziale diminuito  dell'integrale del prodotto dell'integrale trovato (cioè ' g ' )  per il differenziale del fattore finito (df).

Come primo esempio vogliamo calcolare il seguente integrale :

Ricordarsi che del fattore differenziale bisogna saperne calcolare l’integrale … per cui scegliamo (x _* dx)  come fattore differenziale ed Ln (x) come fattore finito. 

N.B.       Ln (x) è il logaritmo naturale di x. Avremo così :

Come secondo esempio, vogliamo calcolare l’integrale :  

La scelta del fattore finito sembrerebbe indifferente, ma conviene  x   perché il suo differenziale è  ( 1 _* dx ). Quindi  cos (x) _* dx  verrà  considerato fattore differenziale, per cui avremo  :

In ogni caso, come verifica, la derivata del risultato deve uguagliare la funzione che si è integrata.

 _{0000000000000000}

INTEGRAZIONE  PER  SOSTITUZIONE

Ricordiamo tre integrali  :

                                      

                                          

Col metodo di sostituzione  riusciremo a ricondurre degli integrali ad uno dei tre tipi precedenti.

Primo esempio

Potremo ricondurre questo integrale al tipo 1)   ponendo :

2_*x + 5 = t  per cui segue che : 2 _* dx = dt  ,  dx = dt /2  e di conseguenza avremo :

E basterà sostituire ‘ t ‘ con ‘ 2_*x + 5 ‘.

Secondo esempio

Potremo ricondurre questo integrale al tipo 2) ponendo :

3_*x + 7 = t   per cui segue che : 3 _* dx = dt ,   dx = dt / 3     e di conseguenza avremo :

 

Terzo esempio

anche se non sembra è riconducibile al caso 1) :

se poniamo  sin (x) = t  , risulta : cos (x) _* dx = dt   quindi  :

   

Per finire

 calcolare il valore dell’integrale  :

se si pone  3_*x² + 5 = t   si ha :

 6_*x_*dx = dt , quindi :    x_*dx = dt / 6   ecc.

In ogni caso, come verifica, la derivata del risultato deve uguagliare la funzione che si è integrata.

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