MATEMATICA : Una curva molto importante anche per la FISICA ; La Parabola

UNA CURVA MOLTO IMPORTANTE PER LA FISICA : LA PARABOLA

La parabola è il  luogo geometrico 

dei punti equidistanti da un punto 

fisso F=[0 ; 1/(4.a)]  detto fuoco e 

da una retta fissa : y = - 1/(4.a) , 

detta direttrice.

La scelta del valore 1/(4.a)  è dovuta alla 

semplicità dell'equazione finale della parabola 

che troveremo.

Dato che PF=PQ risulterà anche : PF² = PQ².

Sostituendo le coordinate, avremo  : (x - 0)² +[(y - 1 /(4.a)]² = (x - x)² + [(y + 1/(4.a)]²

Alla fine dei calcoli, si ottiene :

        

(1)       y  =  a . x²

Viceversa, un'equazione del tipo :

 y  =  a . x² rappresenta una parabola col vertice nell'origine degli  assi, il  fuoco  in  un  punto  

F dell'asse y, di coordinate :

F=[0 ; 1/(4.a)]       e  come  direttrice  la retta di equazione :   y  =  - 1 / (4.a) .

Se il valore di ' a ' è positivo, le ordinate di tutti i punti della parabola (y = a .x²)  sono positivi e 

la concavità della parabola è rivolta verso l'alto. Sarà invece rivolta verso il basso se il valore 

di  ' a '  è  negativo.

La parabola di colore rosso è la stessa di quella di colore blu (la cui equazione è : y = a . x²).

La parabola (di colore rosso) è traslata nel punto (xo,yo), ed ha rispetto agli assi  X,Y  l'equazione  
 (2)   Y = a . X².

Ma vogliamo calcolarne l'equazione rispetto agli assi x ed y.

E' facile capire che : 

      xo + X = x   ed  yo + Y = y

quindi :    X = x - xo            ed                            Y = y - yo.

Sostituendo questi valori nella (2), si ha :

 y = a.x²- 2 a.xo.x  +  a.xo²  +  yo

che è del tipo :                                     (3)   y = a.x²  +   b.x   +   c   

Se poniamo :   ∆ = b²  -  4.a.c       essendo :  b = - 2.a.xo   ,   c  = a.xo² + yo . 

le coordinate del vertice rispetto agli assi (x,y)  sono : 

xo = - b / (2.a)    ,     yo = - ∆ / (4.a)

Coordinate del fuoco : 

 xF = - b / (2.a)   ,    yF = yo  +  YF  = - ∆  / (4.a)  +   1 / (4.a)   =  ( 1 - ∆ ) / (4.a) 

Equazione della (retta) direttrice :  y  = (- 1 - ∆ )  / (4.a)  

Segue un esempio numerico :

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