MATEMATICA : UTLIZZIAMO LA TRIGONOMETRIA PER RISOLVERE UN TRIANGOLO QUALUNQUE

.

RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO (CALCOLO Di LATI E ANGOLI MANCANTI)

PRIMO TIPO DI PROBLEMA :

 sono dati due lati (‘ b ‘   e   ‘ c ‘)  e l’angolo compreso α.

Si sa che in un triangolo a lato maggiore sta opposto angolo maggiore.

  

Dati :  b = 10 , c  =  6 ,   α =  60°

Calcolare   il valore del lato ‘ a ‘  e degli angoli ,   β   e   ϒ

Ed ecco i risultati :   a =  8.72  ,    β  =  83°. 4      ,       ϒ  =  36°.6

Il lato ' a '  è stato calcolato col Teorema di Carnot (del coseno) :

Col Teorema di Nepero calcoliamo la differenza dei due angoli  β   e   ϒ :

(N.B. Se fosse b < c  nella formula 1) bisognerebbe scambiare b  con  c    e   β   con  ϒ)

Dei due angoli si può ricavare la somma, dato che l’angolo  α = 60° era uno dei dati, quindi :

β  +  ϒ  =  180* -  α  =   120°

Conoscendo la somma e la differenza dei due angoli, possiamo calcolarli singolarmente :

S=120° ,  D = 46.8° quindi :

β = (S+D)/2  =  166.8/2  =  83°. 4    ;    ϒ  =  (S-D)/2  =  36°. 6

Se poi fosse b = c  il triangolo sarebbe isoscele per cui dato  𝛂  sarebbero dati anche gli altri due angoli e risulterebbe : β  =  ϒ  =     e il lato ‘ a ’  verrebbe calcolato col teorema dei seni : 

Se ad es. fosse : b = c = 10  ,  𝛂 = 40°  risulterebbe : a = 6.84        e         β  =  ϒ  =      =   70°

ooooo

Secondo tipo di problema

Qui sono dati due lati e l’angolo opposto ad uno di essi.

 DATI :  a , b, α  calcolare : c, β, ϒ.

Per il Teorema dei seni si ha :   sin (β)  = b*sin (α) / a

Il problema è possibile soltanto se :

sin (β) ≤ 1   se   b*sin(α) ≤ a

1°) caso : Se b*sin(α) = a  risulta sin (β) = 1 ,  quindi   β = 90° per cui l’angolo α (dato) dev’essere minore di 90°,  (il triangolo è rettangolo). 

2°) caso : Se b_*sin (α) < a   si ricavano due valori di β,  con β₁ acuto e β₂ ottuso. 

Qui bisogna distinguere due sottocasi.

2a) Se a > b  dev’essere α > β e quindi β dev’essere acuto e si sceglie β₁ (quindi una sola soluzione).

2b) Se a < b , dev’essere α < β per cui se α è ottuso non vi è soluzione. Se α è acuto, sono accettabili i due valori  β₁  e  β₂   e quindi i due valori  ϒ₁ e ϒ₂ .

Il valore di c verrà calcolato col teorema dei seni.

Esempio del primo caso.

DATI : a= 5 , b = 10 , α = 30°

Risultati : sin (β) = b_*sin (α) /a = 10 _* sin (30°) / 5 = 5 / 5 = 1  quindi :

β = 90°. Il triangolo è rettangolo. ϒ = 180° - (90°+ α) = 60°, c = b_*cos(α)=8.66

Esempio 2a) del secondo caso (a > b).

sin (β)  = b*sin (α) / a       ed    a > b  per cui    α > β 

(a lato maggiore sta opposto angolo maggiore)

  

DATI : a = 14 , b = 10 , α = 40°

Risultati : sin (β) = b_*sin (α) / a = 10 _* sin (40°) / 14 = 0.459  quindi :

β = 27.3°   (il supplementare è impossibile perché β dev’essere minore di  α)

ϒ = 180° - (α + β) = 180° - (40° + 27.3°) = 180° -  67.3° = 112.7°

c = sin (ϒ) _* a / sin (α) = sin (112.7°) _* 14 / sin (40°) = 0.9225 _* 14 / 0.643 = 20.1

oooooooooo

Esempio 2b) del secondo caso (a < b)

 sin (β)  = b*sin (α) / a       ed    a < b  per cui    α < β 

DATI : a = 10  ,  b  = 14  , α = 30°

Risultati : sin (β) = b_*sin (α) / a = 14_*sin(30°) / 10 = 0.7   quindi esistono due valori di β :

β₁ = 44.4°   e     β₂ = 180° - 44.4° = 135.6° per cui sono possibili due valori di ‘ ϒ ‘ e due di  ‘ c ‘.

ϒ₁ = 180° - (α + β₁) = 180° - 74.4° = 105.6°  ,   ϒ₂ = 180° - (α + β₂) = 180° -  (α + β₂) = 14.4°

c₁ = sin (ϒ₁) _* a / sin (α ) = 19.3   ,    c₂ = sin (ϒ₂) _* a / sin (α ) = 4.97

 ooooooooooooo

ù
TERZO TIPO DI PROBLEMA : DATE LE MISURE DEI TRE LATI CALCOLARE I VALORI DEI TRE ANGOLI

DATI a = 25 , b = 40, c = 35

Per calcolare i valori di α , β  e  ϒ  useremo le formule di Briggs :