MATEMATICA : Intersezioni fra famiglia di rette e circonferenza fissa

INTERSEZIONI FRA FAMIGLIA DI RETTE E CIRCONFERENZA FISSA (AL VARIARE 

DI UN PARAMETRO k)

Studiare il sistema :    

   

     (x - 2)²   +  (y - 4)² = 25

  y = k _* x  +  5 _* k  -  1

                              2 <  x  <  5

vorrà dire  trovare  per  quali  valori di ' k ' le intersezioni fra retta e  circonferenza hanno ascisse comprese fra   2  e  5.

La prima equazione del sistema rappresenta una circonferenza di centro (2,4) e raggio 5.

Le rette :  y = k _* x  +  5 _* k  -  1    al variare di  k  passano per  uno  stesso punto (-5 , -1),  che  è  il  centro del fascio.  Infatti, dato  che   :  

 k = (y + 1) / (x + 5)   si  può  capire  facilmente  che  x = - 5   è la retta che non appartiene al fascio (cioè quella retta a cui corrisponde un valore teoricamente infinito di k).

Dalla relazione :   k = (y+1) / (x+5)  abbiamo dedotto i valori di  k  che competono  alle rette più importanti.

Alla retta del fascio che passa per il punto  A =(2, - 1) corrisponde : k = 0  (e la retta è parallela all'asse x  e tangente alla circonferenza).

Alla retta passante per  B = (5, 0) corrisponde k = 0.1.

Alla retta passante per  C = (5, 8) corrisponde k = 0.9.

Alla retta passante per  D = (2,9) corrisponde k = 10/7 = 1.42857…

Si capirà facilmente che si ha un punto d’intersezione (e quindi una soluzione) valido per :per

0 < k < 0.1   e  per  0.9 < k < 10/7 = 1.42857….

Ad es. la retta con k = 1 (disegnata a tratto continuo, taglia la circonferenza  nei punti di ascisse x₁ = -2.3912  ed  x₂ = 4.3912, ma soltanto x₂ è accettabile perché compreso fra 2 e 5.