PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI NELLE MISURE INDIRETTE

PROPAGAZIONE  DEGLI  ERRORI  NELLE  MISURE  INDIRETTE  DI  DUE  O  PIU’  GRANDEZZE  FISICHE

1      Una misura di lunghezza  è  stata  scritta  nella  forma :  L = (24,5  ±  0,2) cm.

2      Quali sono i valori massimo e minimo fra i quali è compresa?         

3      Quanto vale il valore massimo?           (24,7)

4      Quanto vale il valore minimo?             (24,3)    
S
S    Potrai capire facilmente che  l'errore assoluto  (dL) di più misure ripetute di una stessa grandezza  può essere calcolato con l'importante formula  :

dL  =  [ L_(max) - L_(min) ]  /  2

Infatti  :  (24,7 – 24,3) / 2  =  0,2

Vogliamo ora dimostrare che l'errore assoluto della somma o della differenza di due o più

grandezze fisiche (omogenee  ovviamente)  è uguale alla somma dei loro errori assoluti.

Se ad es. sono date le due misure  :   L₁ = (32 ± 2) cm  ,   L₂ = (12 ± 3)  cm,  basta  capire  che 

una  differenza fra due valori è massima, se il primo termine (L₁)  è massimo  ed  il secondo

(L₂)  è  minimo. Infatti :  D_(max)  =  34 - 9 = 25  (cm) e  D _(min) =  15 cm ,  e l'errore assoluto

della differenza :

[D _(max) - D _(min) ] / 2 = (25 - 15) / 2 = 5 cm

Non bisogna pensare che se i due errori assoluti sono uguali, quello della loro differenza  sia

zero, perché in realtà è doppio.

Non si può escludere che il  risultato  di una misura  possa  avere errore zero, ma non possia-

mo saperlo e con gli errori si ha il dovere di essere pessimisti (mai troppo ottimisti).

Rimane  allo  studente  da  dimostrare che anche l'errore assoluto della  somma  è  anch’esso

uguale alla somma degli errori assoluti delle due (o più) grandezze.

  

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MISURE INDIRETTE DEL PRODOTTO E DEL QUOZIENTE DI DUE GRANDEZZE FISICHE.

Vogliamo dimostrare che per il prodotto  P = A_*B  o  per il quoziente   Q = A / B   si sommano

gli errori relativi, (non quelli assoluti) .

dA  e  dB  sono gli errori assoluti su A  e  B.  

Dimostreremo però solo il caso del prodotto :

Cominciamo col ricordare che : 3)  dP  = (P_max  -  P_min) / 2

Il prodotto è massimo o minimo se  A  e   B  sono entrambi massimi o minimi, quindi :

 4)  P_max = A_max*   B_max  = (A + dA) _* (B + dB) = A_*B + A_*dB + B_*dA + dA_*dB  =

= (approssimativamente) = A_*B + A_*dB + B_*dA

perché il prodotto (dA_*dB)  normalmente è molto minore degli altri termini. (Già  dA  e  dB 

normalmente sono molto più piccoli di A e B) .

Analogamente, si ha  :

5)    P_min = (A_{min *} B_min) = (A - dA) _* (B - dB) = A _* B  - A _* dB - B _* dA

Sostituendo  4)  e  5) nella  3) ,  si  ha  :               6)   dP = A*dB + B*dA.  quindi  :

 C.V.D.

Non dovrebbe essere difficile ricordare a memoria la formula 6), che darebbe  direttamente 

l'errore assoluto del prodotto di due grandezze, ma  nel caso che  queste siano più di due, la

formula dell'errore assoluto sarebbe più complicata. Per questa ragione useremo la 1).

Se  dP /  P   =  k ,  l'errore assoluto su  P  sarà dato da  :  dP = k _* P.

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Misura dell’area di un rettangolo e calcolo dell’errore assoluto

Non volendo lasciare più di una cifra significativa sull’errore assoluto, ci conviene trasformare l’area in cm² dividendo per 100 sia l’area che il suo errore assoluto.

Quindi l’area del nostro rettangolo è uguale a :

(2)  S = (102,31  ± 0.35) cm² = (102,3  ± 0.4) cm²

Come abbiamo detto, sull'errore assoluto non si tollera più di una cifra significativa, per cui, in questi casi :

se                       dS < 1                 si lascia un solo decimale 
se invece  1 < dS < 10    nessun decimale

e se       dS > 10                      trasformiamo in cm²

ooooooo

MISURIAMO  IL  VOLUME  DI  UN  CILINDRO  DANDONE  L’ERRORE  ASSOLUTO

Se r = 600 (mm) ± 5 (mm)  ed  h = 500 (mm) ± 5 (mm)

risulta : V = (565486200 ± 13,33)  (mm³)

Normalmente sull’errore assoluto non si tollera più di una cifra significativa, per cui ci conviene trasformare il valore del volume e del suo errore assoluto in cm³.

Se   dV < 1           si lascia un solo decimale

Se  1 < dV < 10    nessun decimale

Se  dV > 10          trasformiamo in cm³

Nel nostro caso, scriveremo il risultato come segue :

V = (565486,20  ± 0.01)  (cm³)

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