Due masse collegate con un filo sottile, scivolano lungo un piano inclinato ruvido (mantenendo il filo teso)

Due masse collegate con  un filo sottile, scivolano lungo un piano inclinato ruvido.

Le due masse m₁  ed  m₂ scivolano lungo un piano inclinato mantenendo teso  il  filo  che  le  collega per cui  sono  come  un  blocco  unico  e scendono con la stessa accelerazione.

Il filo può mantenersi teso  perché il  coefficiente  d’attrito  µ₁  della massa  m₁  che  precede  è  minore del coefficiente d'attrito della massa  m₂  che è dietro m₁. 

Vedi  le  (1)  e  (2).

Se le due masse non fossero collegate col filo e avessero un coefficiente d'attrito diverso,  avrebbero una diversa accelerazione (che dipende dall'angolo ß e da µ, ma non dalla massa).

Eccone i valori  :

(1)      a₁  =  ( P_1x  -  µ_1*P_1y )  /  m₁   =  g _* [ sin(ß)   -   µ_{1 *} cos (ß) ]

(2)      a₂  =  (P_2x  -  µ_2*P_2y)  /  m₂    =    g _* [ sin(ß)   -   µ_{2 *} cos (ß) ]

Ma dato che il filo si è mantenuto teso, l'accelerazione delle due masse  è  la stessa (perché sono come un corpo unico). Col filo teso le forze che agiscono su ciascuna massa, non sono  più due , ma tre , perché si è aggiunta la tensione ' T ' del filo che fa aumentare l'accelerazione  di  m₂  e diminuire quella di m₁  (e diventeranno uguali). Ecco le equazioni per le singole masse  :

P_1x  -  F_a1  - T  =  m_{1 *} a    ,   P_2x  -  F_a2  +  T  =  m_{2 *} a

Sommando membro a membro le prime due equazioni, possiamo ricavare  l'accelerazione 

a = (P_1x + P_2x - F_a1 - F_a2) / (m₁ + m₂)

Infine possiamo ricavare la tensione T del filo :

T = m_{2 *} a + F_a2 - P_2x

Ecco un esempio numerico :  m₁ = 1 (kg) ,  µ₁ = 0.2 ,  m₂ = 4  (kg)  ,  µ₂  =  0.5 ,   β = 30°

Risultati : a = 1,156  (m/s²) , T = 2.04  (N)

Se fosse  µ₁ = µ₂  risulterebbe  a₁ = a₂   e  T = 0.  Le  due  masse  scivolerebbero  indipendentemente (e il filo non sarebbe teso).

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