La densità con test di verifica (molto utile per gli studenti)

Cosa si intende per densità di un materiale?

L'esperienza dimostra che al raddoppiare, triplicare ecc. del volume di un qualsiasi materiale,

ad una data temperatura, anche la sua massa raddoppia, triplica, ecc.

Quindi possiamo affermare che massa  m  e volume  V  sono   direttamente proporzionali.

Si definisce densità di quel materiale il rapporto costante fra massa e volume :

(1)     d = m / V.

Si capisce facilmente che densità  e  volume debbano essere inversamente proporzionali. In

una stessa massa di materiali diversi, avrà volume minore quella di densità maggiore.

La stessa definizione di densità vale anche per materiali liquidi e gassosi.   Per  questi ultimi

si dovrà però precisare anche la pressione (che normalmente è quella atmosferica).

La massa di 1 cm³ di acqua distillata  a  4° C  è di 1 g, mentre quella  di  1 dm³ = 1000  cm³ sa

rà  di 1000 grammi, e quella di  1 m³  =  1000  dm³  sarà di  1000 kg .

Della formula (1)  bisognerà  saper  dedurre  le  due  formule  inverse  :

m = d _* V    e    V = m / d .

(per usare correttamente le formule inverse, agli studenti piace un esempio numerico del tipo : 

6 = 2 _* 3  e se vogliamo ricavare il 2 basta portare il 3 da moltiplicare a dividere)  : 2 = 6 / 3 .

Oppure mettere il prodotto d * V nella parte bassa di un triangolo, ed m nella parte alta. Basta tappare la grandezza che si vuole calcolare e guardare le altre due.
 Se si tappa ' d ' rimane m /V,  (quindi : d = m/V)
se invece si tappa V, rimane m /d  (quindi V = m/d)
e se si tappa m rimane d * V (quindi m = d * V).

Sembra ridicolo, ma così i ragazzi non sbagliavano mai le formule inverse (parlo di quelli delle prime classi dell ITI).

Se  ad  es. vogliamo  calcolare  il  volume occupato da 35 kg di acqua a 4°C,  si farà così :  

 V = m / d =  35 kg / (1 kg / dm³ )  =  35  dm³ = 35  litri .

Mentre se viene richiesta la  massa  di  2.5 m³  di acqua  bisogna usare la formula  : 

  m = d * V  = 1000 (kg / m³) _* 2.5 (m³)  = 2500 kg

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TEST  DI  CONTROLLO

1)  Un cubo di lato 1  dm³  equivale  ad  1 litro,  cioè   1 dm³  =  1 litro  :  (V / F)  ?

2)  1  dm  = 10  cm  ,   1  dm  =  0.1  m  ,   1  cm = 10  mm  ,    0.025  m  = 0.25  cm Quale delle quattro uguaglianze è sbagliata : 1/2/3/4 ?

3)  Se 1 dm = 10 cm, a quanti cm² equivale 1 dm² ?

4)  1 dm³  = …….. (cm³) ?

5)  1 dm³  di  acqua distillata (a 4 °C) ha m=1 kg, quanto vale la massa di 1 cm³ ?

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Materiale	Temperatura	Densità	Densità
	(°C)	(kg / m3)	(g /cm3)
Acqua distillata	4	1000	1.0
Al	20	2700	2.7
Fe	20	7800	7.8
Sughero	20	400	0.4
Petrolio	20	800	0.8

E’ bene non dimenticare che :

d_H2O   =     1.0   g / cm³   =   1.0    kg / dm³       =       1000    kg / m³           (a   4°C)

 d_Al     =    2.7   g / cm³    =   2.7   kg / dm³       =       2700    kg / m³            (a 20°C)

 d_Fe     =    7.8   g / cm³    =   7.8   kg / dm³       =       7800    kg / m³            (a 20°C)

 d_Hg      =  13.6  g / cm³    = 13.6   kg / dm³        =    13600     kg / m³           (a 20°C)

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Un semplice problema di Meccanica. Viaggiare con velocità inclinata rispetto alla corrente e di valore superiore per attraversare ortogonalmente. Può succedere anche con le piogge torrenziali di questi ultimi anni.

ATTRAVERSARE  UN  FIUME   PERPENDICOLARMENTE

Una barca deve attraversare un fiume di larghezza  L  che scorre con velocità  V_{f .}

Volendo muoversi ortogonalmente alle sponde, inclina di un angolo β la velocità V_b .

Dati i valori di L,  V_f   e  V_b  verrà calcolato il valore dell’angolo β ed il tempo impiegato dalla barca per attraversare il fiume.

Sostituiamo al vettore  V_b  le due componenti V_y di valore uguale a V_f  e V_x .

V_y  =  V_f  =  V_{b *} sin (β)   quindi   :  (1)  sin (β)  =  V_f / V_b 

La (1) ci fa capire che la velocità della barca V_b dev’essere maggiore della velocità del fiume V_f  per poterlo attraversare (matematicamente il seno di un angolo è compreso fra -1 e 1, quindi non può essere maggiore di 1 .

Si capisce anche che se fosse Vb = Vf  risulterebbe β = 90° e la barca starebbe ferma remando controcorrente e non si allontanerebbe dalla sponda di partenza.

Ed ecco i risultati di un esempio numerico :

Dati : L = 600 (m) ,  V_f = 2 (m/s) ,  V_b = 4 (m/s)

Risultati : β = 30° ,  V_x = V_b*cos(30°) = 3,46  (m/s)

Tempo impiegato per l’attraversamento : t =L/V_x= 600/3.46 = 173,2 (s) = 2,9 (m)

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N.B. Con le piogge torrenziali di questi ultimi anni, purtroppo capita a molti automobilisti di essere trascinati dalla corrente dei fiumi di pioggia. Auguriamoci che non abbiano la necessità dei consigli della Fisica,

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Listato di un programma in Visual Basic con animazione del Moto Circolare Uniforme e del Moto armonico sua proiezione.

2°  Programma  d’INFORMATICA

COME  FAR  MUOVERE  UNA SFERETTA  SU CIRCONFERENZA VERTICALE (DI MOTO UNIFORME)

Si fissano le coordinate del centro  (xC, yC) e  del raggio R  della circonferenza  e si scelgono i valori provandone la posizione sullo schermo (laterale, o al centro o a destra e poi in basso o al centro o  in alto).

Public Sub Sferetta(R, i As Variant, col As Integer)

Const Pi = 3.14159

xC = 2400

yC = 2700

ForeColor = QBColor(col)

xo = xC + 1500 * Cos(i / 100) 'xo ed yo sono le coordinate della sferetta che ruoterà 

yo = yC + 1500 * Sin(i / 100)

Circle (xC, yC), 1500, QBColor(8) 'circonferenza grande che non verrà cancellata nell'animazione successiva

Line (xC, yC)-(xo, yo), QBColor(col) ‘ Disegna il raggio, che segue la sferetta che gira

FillColor = QBColor(col)

FillStyle = 0 'per colorare la sferetta

Circle (xo, yo), 100 ‘ disegna la sferetta di piccolo raggio (100) che gira sulla circonferenza grande

FillStyle = 1 'per impedire la colorazione di tutto lo schermo

End Sub

Public Sub Animazio()

ForeColor = RGB(190, 230, 230)

col = RGB(190, 230, 230)

i = 1414

Call Sferetta(100, i, 9) 'il colore 9 della sferetta è il blu

Do

 Call Sferetta(100, i, 15) ' il colore 15 di fondo cancella la sferetta

 i = i + 0.02 ‘ per valori di velocità più alta cambiare 0.02 in 0.5 o di più

 Call Sferetta(100, i, 9)

Loop Until i > 2042.3  '1 GIRO

End Sub

Private Sub Command1_Click()

Call Animazio

End Sub

N.B.  Con piccole aggiunte a questo programma si può far vedere che il moto armonico si ottiene proiettando un moto circolare uniforme su un piano ortogonale.

Ecco la videata che si ottiene … con piccole aggiunte al listato precedente.

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INFORMATICA : Un programma in Visual Basic, ma adattabile ad altri linguaggi, per disegnare una funzione (parabola, retta, o altra funzione)

INFORMATICA

COME  FAR   DISEGNARE  AL COMPUTER GLI  ASSI  CARTESIANI   E  UNA PARABOLA

Disegniamo gli assi :

Xos  ed  Yos  indicano le coordinate dell’origine O degli assi cartesiani.

 Xos = 500

Yos = 3400

ForeColor = QBColor(1) ‘colore degli assi

Line (Xos, Yos)-(Xos+5000, Yos) 'asse x

Line (Xos+2500, Yos-2500)-(Xos+2500,Yos+2500) ‘asse y

Se vogliamo disegnare la parabola : y = a*x^2+b*x+c

sarà necessario far richiedere i valori di  a, b, c. (normalmente  di  poche  unità)

e si fanno calcolare le coordinate del vertice :  

xV = - b / (2*a)  

delta = b^2 - 4*a*c

 yV = -delta / (4*a)

If delta >= 0 Then

  x1 = 0.5 * (-b - Sqr(delta)) / a    ' sqr = RADICE QUADRATA nel Visual Basic

  x 2 = 0.5 * (-b + Sqr(delta)) / a

Print "Intersezioni con l'asse delle ascisse : x1 = "; Round(x1, 2) & " , x2 = "; Round(x2, 2);

xMax=10

yMax=10

If Abs(x1) > xMax Then xMax = Abs(x1)

If Abs(x2) > xMax Then xMax = Abs(x2)

End If

If delta < 0 Then

  Print "La parabola non taglia l'asse x"

End If

yMax = -1000000#

If Abs(yV) > yMax Then yMax = Abs(yV)

If Abs(c) > yMax Then yMax = Abs(c)

Print "Si consiglia un valore di xMax che sia un numero intero e maggiore di "; Round(xMax, 2) & " ed yMax intero e maggiore di "; Round(yMax, 2)

For x = -xMax To xMax Step 0.01  ‘Viene disegnata la parabola

  xs = Xos + 2500 * x / xMax

  y = a * x * x + b * x + c

  ys = Yos - 2500 * y / yMax

 If xs > 500 And xs < 6000 And ys > yos - 2500 And ys < yos + 2500 Then PSet (xs, ys)

Next x

  ForeColor = QBColor(1)  ‘ Vengono stampati i valori massimi sugli assi

 CurrentX = 1780

 CurrentY = 600

 Print " xMax = "; Round(xMax, 2) & "       ,       yMax = "; Round(yMax, 0)

 ForeColor = QBColor(9)

 CurrentX = 7000

 CurrentY = 1200

 Print "y = ("; Round(a, 2) & ")  *  x ^2  +  ("; Round(B, 2) & ")  *  x   +   ("; Round(c, 2) & ")"

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NB Scrivere un programma al computer richiede che ci sia quel dato programma (Visual Basic, Turbo Pascal, ecc), ma si può usare anche un foglio elettronico.

Si  prova una grande gioia quando si riesce a farlo funzionare. AUGURI.

Negli ultimi 5 anni in cui ho insegnato, i miei alunni hanno imparato le basi della programmazione.

In oltre 25 anni di lavoro (qualche ora al giorno), ho raccolto oltre 500 programmi di Fisica e di Complementi di Matematica. Essendo compilati (.EXE), non richiedono nessun programma di compilazione, ma non vengono pubblicati dagli Editori per la facilità di copiature di un CD.

Nel 1980 un centinaio di programmi (per ciascun dei due volumi) me li pubblicò la S.E.I. di Torino e a quell'epoca erano scritti in Turbo Pascal, ma ora sono tutti in Visual Basic, che possiede una grafica molto superiore  e tante altre possibilità.

Seguono due videate del programma (in Visual Basic)

2° caso

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Due masse collegate con un filo sottile, scivolano lungo un piano inclinato ruvido (mantenendo il filo teso)

Due masse collegate con  un filo sottile, scivolano lungo un piano inclinato ruvido.

Le due masse m₁  ed  m₂ scivolano lungo un piano inclinato mantenendo teso  il  filo  che  le  collega per cui  sono  come  un  blocco  unico  e scendono con la stessa accelerazione.

Il filo può mantenersi teso  perché il  coefficiente  d’attrito  µ₁  della massa  m₁  che  precede  è  minore del coefficiente d'attrito della massa  m₂  che è dietro m₁. 

Vedi  le  (1)  e  (2).

Se le due masse non fossero collegate col filo e avessero un coefficiente d'attrito diverso,  avrebbero una diversa accelerazione (che dipende dall'angolo ß e da µ, ma non dalla massa).

Eccone i valori  :

(1)      a₁  =  ( P_1x  -  µ_1*P_1y )  /  m₁   =  g _* [ sin(ß)   -   µ_{1 *} cos (ß) ]

(2)      a₂  =  (P_2x  -  µ_2*P_2y)  /  m₂    =    g _* [ sin(ß)   -   µ_{2 *} cos (ß) ]

Ma dato che il filo si è mantenuto teso, l'accelerazione delle due masse  è  la stessa (perché sono come un corpo unico). Col filo teso le forze che agiscono su ciascuna massa, non sono  più due , ma tre , perché si è aggiunta la tensione ' T ' del filo che fa aumentare l'accelerazione  di  m₂  e diminuire quella di m₁  (e diventeranno uguali). Ecco le equazioni per le singole masse  :

P_1x  -  F_a1  - T  =  m_{1 *} a    ,   P_2x  -  F_a2  +  T  =  m_{2 *} a

Sommando membro a membro le prime due equazioni, possiamo ricavare  l'accelerazione 

a = (P_1x + P_2x - F_a1 - F_a2) / (m₁ + m₂)

Infine possiamo ricavare la tensione T del filo :

T = m_{2 *} a + F_a2 - P_2x

Ecco un esempio numerico :  m₁ = 1 (kg) ,  µ₁ = 0.2 ,  m₂ = 4  (kg)  ,  µ₂  =  0.5 ,   β = 30°

Risultati : a = 1,156  (m/s²) , T = 2.04  (N)

Se fosse  µ₁ = µ₂  risulterebbe  a₁ = a₂   e  T = 0.  Le  due  masse  scivolerebbero  indipendentemente (e il filo non sarebbe teso).

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COS'E' UN CONDENSATORE ELETTRICO?

PREMESSA  AL  CONDENSATORE

Immaginiamo di caricare due dischi metallici, piani  e  paralleli,  di  cui  si  possa  variare  la distanza,  con una  d.d.p. abbastanza  alta di almeno un migliaio di volt. Chiudiamo il tasto  t  per caricare il condensatore C.

Il generatore, per caricare i due dischi (o armature), ha  sottratto  una  certa carica + Q  all'armatura di destra, che perciò rimane carica negativamente, e l'ha portata su quella di sinistra.

Le due armature,  cariche di segno opposto,  si  attirano  e  ci  sembra  lecito aspettarsi che, se le allontaniamo, dopo  aver  riaperto il tasto ' t '   la d.d.p. V, debba aumentare (mentre le cariche rimarranno costanti), dato che il generatore è stato staccato.

Questa previsione  è  basata  sull'analogia (meccanica)  con una molla che viene allungata, per la quale  il  lavoro  fatto produce un aumento della sua energia potenziale (elastica).

L'esperienza conferma le nostre aspettative ed infatti il voltmetro o anche un  comune elettroscopio  rivela un aumento della d.d.p. fra le armature.

Quindi due lastre conduttrici,  separate da un isolante, che nel nostro caso  è  l'aria,  consentono di accumulare cariche elettriche con una d.d.p. che è tanto minore, quanto minore è la loro distanza.

L'armatura con carica negativa ha il compito di abbassare il potenziale elettrico di quella positiva e l'insieme delle due armature costituisce il condensatore.

Se paragoniamo la  d.d.p. al  livello  e  la carica  alla quantità di un liquido contenuto in un recipiente,  comprendiamo che due lastre conduttrici realizzano per le cariche elettriche un insieme di  capacità  tanto maggiore, quanto maggiore è la loro superficie e quanto minore è la loro distanza 

Un condensatore può essere paragonato ad un ' magazzino di carica ' a dislivello elettrico (d.d.p.)  relativamente basso.

In un'altra esercitazione sperimentalmente definiremo la Capacità elettrica.

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Calcolo dell'energia di un condensatore carico

ENERGIA  DI  UN  CONDENSATORE  CARICO

Se chiudiamo il tasto t del circuito, il condensatore verrà caricato alla tensione Vo del generatore.

Il generatore  sottrae una carica + Q all'armatura di destra (che perciò rimane carica negativamente e la porta, a spese di energia chimica, (se usiamo pile chimiche),  sull'armatura di sinistra .

Potrebbe sembrare  che l'energia possa essere data da 

L = Q_*Vo, ma la carica Q non viene spostata con una d.d.p. costante, perché all'aumentare della carica, aumenta anche la d.d.p. fino al valore Vo.

Come avviene per l’acqua nel serbatoio che incontra una contro pressione dovuta   all’acqua che vi è già arrivata, così la carica sul condensatore tende a respingere quella dello stesso segno che il generatore aggiunge.

Se la carica passa da 'q ' a ' q + dq ' e  dq è molto piccola rispetto alla totale  Q,  la   d.d.p.  in  pratica  è costante.

 

L'aggiunta di una piccola quantità di liquido nel serbatoio, non altera apprezzabilmente il livello) e l'area della striscia verde ci dà l'aumento di energia fra le armature del condensatore per l'aumento di carica 'dq'.

Quindi basterà dividere l'intervallo (0 , Q) in tante strisce di ampiezza 'dq' e  sommare le loro aree per avere l'energia che volevamo calcolare, che è quindi data dall'area del triangolo. Quindi :  L = Q_*Vo / 2  =  C_*Vo² / 2.

N.B. Un condensatore può restare carico per diverse ore, anche se un'apparecchiatura è spenta e ricordo tristemente la morte di un tecnico (avvenuta molti anni fa)  proprio per la scarica ricevuta da un condensatore ancora carico, di un'apparecchiatura ... spenta.

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