MOTO DI ROTOLAMENTO SENZA STRISCIAMENTO DI UN CILINDRO SU PIANO ORIZZONTALE.

Moto di puro rotolamento (senza strisciamento) di un cilindro su un piano orizzontale

Se un cilindro di raggio r rotola  senza strisciare, possiamo trovare una relazione  fra  i  valori  lineari  delle grandezze spostamento, velocità e accelerazione e quelli angolari. Quando  il  centro  del  cilindro  avanza  di una circonferenza, ha descritto un angolo giro, sicché : s = r _* β (infatti se  ‘ s ‘  è  uguale a una circonferenza, l’angolo fatto da una generatrice è 2 _* π radianti).

Il legame fra  V  e  ω  sarà  dato  da : V =  r _* ω, mentre  quello  fra  accelerazione  lineare  e accelerazione angolare  α  sarà dato da : a = r _* α  ,  (con  α = dω / dt).

s = r * β     (con β in radianti)  ,   V = r * ω  ,    a = r * α

Se non ci fosse attrito, il corpo scivolerebbe e non potrebbe rotolare.   Vogliamo dimostrare che sul piano orizzontale, l'accelerazione prodotta dalla forza F è 2 / 3 di quella che ci sarebbe se non ci fosse attrito.

 Per il moto rotatorio useremo l'equazione : M = I_*α essendo I = m_* r² / 2    il momento d'inerzia del cilindro rispetto al suo asse di rotazione baricentrico ed  α = dω / dt  l'accelerazione angolare.

Il momento della forza F rispetto all'asse baricentrico è nullo,  quindi  rimane  quello della forza d'attrito :  M = F_{a *} r = (m _* r ² / 2) _* α. Da cui ricaviamo il valore : F_a = (m _* r / 2) _*  α = m _* a / 2 , dato che a = r _* α.

Il moto è roto-traslatorio e fin qui abbiamo considerato solo la rotazione.

Per il moto traslatorio, scriveremo :  F - F_a  =  m_*a. Sostituendo  ad  F_a  il  valore  trovato  prima,  avremo  a = (2 / 3) _* F / m      (come avevamo detto all’inizio).

Se usiamo l'asse istantaneo di rotazione (nel contatto cilindro-piano), basterà una sola equazione (anziché due e a volte anche più di due), per ottenere gli stessi risultati precedenti pur di riferire a  questo nuovo asse  sia  il  nuovo  valore del momento d'inerzia (aggiungendo al vecchio m_*r² )  che al momento delle forze esterne. (Ora il momento della forza d'attrito è nullo  Fa * 0 = 0), ma non lo è quello di F  che vale  F _* r .

I = ( m _* r² / 2  +  m _* r² )  =  3 _* m _* r² / 2 . Quindi avremo :

  M = F_* r  =  I _* α    è   F _* r = (  3_*m_*r² / 2) _* α è F = (3_*m_*r/2)_*α è r _* α = a = (2/3)_*F/m

Dati I valori numerici : m = 20  (kg)  ,  r = 0.4  (m)  ,  F = 120  (N)

Risultati : a = 4  (m/s²) , α = dω/dt = 10   (rad/s²)  ,  F_a = 40  (N) 

Per poter stabilire se c'è rotolamento puro, senza strisciamento, è necessario che la forza d'attrito Fa calcolata sia minore di quella di attrito statico (calcolabile soltanto se si conosce non solo la massa del corpo, ma anche il coefficiente d'attrito statico).

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