Ancora Dinamica sistemi rigidi rotanti : URTO ELASTICO DI UNA PALLINA CON UNA LASTRA GIREVOLE INTORNO AD UN ASSE VERTICALE.

URTO ELASTICO DI UNA PALLINA CON LASTRA GIREVOLE INTORNO AD UN ASSE VERTICALE

Una lastra di forma rettangolare, di massa M₁ e larghezza  L, è libera di girare intorno al suo asse di simmetria verticale. Inizialmente  è  ferma, ma ad  un  certo  istante  viene urtata, (elasticamente) da una  pallina  di  massa  m₂  e  velocità  Vo ortogonale alla lastra stessa, in un punto A, a distanza  r dal'asse di rotazione.

Vogliamo calcolare la velocità della pallina dopo l'urto  e  la velocità angolare  ω  della lastra.

Dato che l'urto è elastico,  si può applicare il  Principio di conservazione dell'energia :

                            (1)  m_{2 *} Vo² / 2   =  m_{2 *} V₂² / 2  +  I _* ω² / 2.

Una seconda equazione può essere scritta applicando il Principio di conservazione del momento della quantità di moto (in conseguenza del fatto che il momento delle forze esterne   è   nullo)  :

(2)     m_{2 *} Vo _* r  =  m_{2 *}V_{2 *} r  +  I _* ω,         (ω  è  la velocità angolare acquistata dalla lastra dopo l’urto ed  I  =  M_{1 *} L² / 12   è il suo momento d'inerzia).

Dalla (1) si ricava : Vo² -  V₂² =  I _* ω² / m₂ ,  e dalla (2) : (3)  Vo - V₂ =I_*ω/(m_2 * r)                        segue che  : (4)  Vo + V₂ =  ω _* r,  quindi si trova una relazione fra   ω  e  V₂.

Dopo alcuni calcoli algebrici si ottengono i due valori cercati :

 ω =  2 * Vo _* m_{2 *} r / (  I + m₂ * r² )    ,    V₂  =  Vo _* ( m₂ * r² – I ) / ( I + m_{2 *} r² ) .

Dati : M₁ = 10  (kg)  ,  L = 2  (m)  ,  m₂ = 0.05  (kg)  , Vo = 10  (m/s)  ,  r  =  0.8  (m)

Risultati : ω = 0.238  (rad/s)   ,  V2 = - 9.81  (m/s)

Se risulta (come in questo esempio) V2<0 vuol dire che dopo l’urto la sferetta torna indietro.

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