I grafici utili nella ricerca di una legge fisica

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Verifica sperimentale della trasformazione Triangolo-Stella delle resistenze elettriche

VERIFICA SPERIMENTALE DELLA TRASFORMAZIONE TRIANGOLO-STELLA

Questo circuito è molto importante in Fisica e vorremmo verificare sperimentalmente che la resistenza R_AB agli estremi calcolata con una trasformazione di un triangolo di resistenze in una stella equivalente coincide col valore misurato con un nostro ohmetro tarato in una esercitazione precedente.

In questo circuito le resistenze non sono collegate né  in serie,  né in parallelo, per cui anche se  fossero  conosciuti  i  valori delle  resistenze, non saremmo  in  grado di calcolare il valore della  resistenza fra gli estremi A e B.

  Non sembra esserci alcun  triangolo, ma disegnando il circuito in maniera leggermente diversa, ne vedremo chiaramente uno.

Se sostituiamo  al triangolo di R1,R2,R3 una stella  equivalente si potrà calcolare R_AB e confrontarne il valore con quello misurato con un ohmetro.

Supponiamo di aver montato il primo circuito con resistenze  elettriche aventi i valori seguenti :

       

R₁ = 20  Ω , R₂ = 30 Ω , R₃ = 50 Ω , R₄ = 20 Ω , R5 = 5 Ω

Ricordiamo come si calcolano le resistenze della stella che sostituisce il triangolo :


r₁₂ = R_1*R₂ / (R₁+R₂+R₃) = 20_*30/100 = 6 Ω , 
r₁₃ = R_1*R₃ / (R₁+R₂+R₃) = 10 Ω , 
r₂₃ = R_2*R₃ / (R₁+R₂+R₃) = 15 Ω


r₁₃  in questo circuito risulta in serie con  R4,  per cui si ha : R_SCB = r₁₃ + R₄ = 10 +20 = 30 Ω
r₂₃ risulta in serie con R5, per cui si ha : R_SDB = r₂₃ + R₅ = 15 + 5 = 20 Ω

Le due resistenze R_SCB ed R_SDB risultano collegate in parallelo fra loro e risulta :
R_SB = 30*20/(30+20) = 600/50 = 12 Ω

Infine questa resistenza risulta collegata in serie ad r_12. Quindi R_AB = 12 + 6 = 18 Ω

La misura con l’ohmetro ci ha sempre confermato un accordo pieno col valore teorico.

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L'Esperimento di Thomson per la misura del rapporto carica/massa dell'elettrone

ESPERIMENTO DI THOMSON PER LA MISURA DEL RAPPORTO q/m PER L’ELETTRONE   

 

Per questo celebre esperimento venne usato un tubo a raggi catodici di cui erano note le caratteristiche elettriche e meccaniche.

Nel nostro disegno c'è un accessorio più moderno, il cosidetto 'cannone elettronico' nel quale gli elettroni emessi da un filamento incandescente vengono accelerati nel cannone e penetrano fra le armature (distanti ' d ') di un condensatore piano, carico ad una d.d.p  V_c  che li devia prima che colpiscano lo schermo.

Tutto il tubo è sotto vuoto spinto per evitare gli urti con le molecole dell’aria.

In direzione orizzontale non agiscono forze e in questa direzione la componente della velocità rimane invariata fino a quando il singolo elettrone non colpisce lo schermo.

All’interno del campo uniforme verticale presente fra le armature del condensatore la velocità viene incurvata, verso l’alto se l’armatura superiore è carica positivamente o verso il basso se invece è carica negativamente.

In questa zona la traiettoria è parabolica, Le coordinate del singolo elettrone all’interno del campo elettrico saranno date da :

x = v _* t      e      y = a _* t ² / 2  essendo l’accelerazione data da :

       

                                            a = F / m = q _* E / m  =  q _* V _c / (d _* m)  =  (q/m) _* V _c / d

essendo  E = V_c /  d        l'intensità del campo elettrico fra le armature.

(l'accelerazione di gravità ' g '  è  trascurabile in confronto ad ' a ').

Il tempo di transito nel campo elettrico sarà dato da  t = L / v e la deviazione ‘ h_o ‘ in uscita :
                                                               h_o = 2 _* a / t ²

 Uscendo dal campo elettrico la traiettoria è di nuovo rettilinea fino allo schermo.

La deviazione ' h_o ' non  può  essere misurata  direttamente, perché  è  interna al tubo.  Ma basta ricordare una proprietà della parabola  e  precisamente  che la  tangente  in un punto di  ascissa  L , taglia l'asse  x in un punto di ascissa ( L / 2).

Quindi si può scrivere la proporzione  Y : h_o = (b + L /2) : L /2    (e si ricava il valore di h_o).

Per poter calcolare  q / m   occorreva conoscere la velocità v degli elettroni.

Noi possiamo calcolarla perché nei tubi moderni possiamo variare la tensione di accelerazione

del cannone elettronico, ma nel 1897 non era possibile.

J.J. Thomson, per  misurare  quella  velocità  v,  ebbe  l'idea  geniale  di  compensare la deviazione elettrica con un campo magnetico ortogonale a quello  elettrico.  (Ciò avviene se la forza elettrica F = q _* E  riesce ad equilibrare la forza di Lorentz :  F = B _* q _* v = q _* E  quindi :  v = E / B.

Thomson riuscì così a misurare il rapporto q / m dell'elettrone e a dimostrare che  è  un  costituente universale della materia.

 Da molti J.J. Thomson è considerato il padre dell' elettrone.             

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Ed ecco riassunti i calcoli :

 

x = v _* t     e     y = a _* t ² / 2  fra le armature del condensatore dove avviene la deviazione,  

a = F / m = q _* E / m = (q / m) _* V _c / d  ,  (V _c   è la d.d.p. fra le due armature).

t = L/ v , h_o = 2 _* a / t ² = 2 _*  (q/m) _* V _{c *} v ² / (d _* L ²)

La deviazione ' h_o ' non  poteva  essere misurata  direttamente, perché  interna al tubo.  Ma basta ricordare la proprietà della parabola  (passante per l’origine degli assi)  che la  tangente  in un punto di  ascissa  L , taglia l'asse  x in un punto di ascissa ( L / 2).

Quindi si può scrivere la proporzione  Y : h_o = (b + L /2) : L /2    (e si ricava il valore di h_o).

Per poter calcolare  q / m   occorreva conoscere la velocità v degli elettroni.

Noi possiamo calcolarla perché nei tubi moderni possiamo variare la tensione di accelerazione del can-

none elettronico, ma nel 1897 non era possibile.

J.J. Thomson, per  misurare  quella  velocità  v,  ebbe  l'idea  geniale  di  compensare la deviazione elettrica con un campo magnetico ortogonale a quello  elettrico.  (Ciò avviene se la forza elettrica F = q_*E  riesce ad equilibrare la forza di Lorentz :  F = B_*q_*v = q_*E  quindi : v = E / B.

1  1)      ho = 2 _* a / t² ,  2)   t = L / v (tempo per attraversare le armature)

            a = F / m = q_*E / m = (q / m) _* V_c / d  ,  t = L / v

2   2)      h_o = Y_*(L/2) / (b+L/2) = 2 _* a / t²  

     3)       v = E / B, quindi : t = L _* B / E

sostituendo nella 1)  potremo ricavare q/m in funzione di  grandezze note o misurabili  
 Y_*(L/2) /(b+L/2) = 2 _* (q / m) _* (V _c / d) _* v ² / L ²         : 
                             

  q / m = Y _* (L/2) / (b+L/2) _* d _* L ² _*  B ²/ (2 _* V _{c *} E ²) 

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L'analisi numerica utilizzata per calcolare il tempo di scivolata su guida cilindrica

CALCOLIAMO  IL TEMPO  DI SCIVOLAMENTO  SU RAMPA CIRCOLARE LISCIA CON L’ANALISI NUMERICA

Utilizzando l’analisi numerica, che descriveremo nella videata successiva, calcoleremo il ‘tempo’ che una sferetta di dimensioni trascurabili in confronto al raggio R di una guida cilindrica di attrito trascurabile, calcoleremo anche la velocità finale (meno importante, perchè facile da calcolare).

Ecco un elenco di valori per R = 2 (m) :

Delle due componenti P_x  e  P_y del peso della sferetta, la tangenziale P_x = P _* sin (β) è quella che accelera il suo moto, ma dato che varia al variare dell’angolo β, non sapremmo calcolare il tempo per arrivare sul piano orizzontale.

Ma se immaginiamo di dividere l’arco in un numero grandissimo di parti, in ciascuna di esse l’accelerazione a = g_*sin(β) potrà essere ritenuta costante e potremo applicare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato.

L’ errore sarà tanto minore, quanto maggiore sarà il numero degli archetti.

Segue l'algoritmo se si vuole scrivere il programmo in un linguaggio che si conosce (es. Visual Basic, Turbo Pascal, ecc

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MATEMATICA-L'integrazione per parti e per sostituzione

L’INTEGRAZIONE   PER   PARTI    (MATAMATICA)

Date due funzioni  f (x)  e  g (x), che nel seguito indicheremo semplicemente con  f  e  g, il differenziale  del loro prodotto è dato da :

d (f _* g) = f  _*   dg   +   g  _*  df    da cui si ricava :   f  _*  dg   =   d (f  _*  g)   -  g _* df . 

Integrando quest’ultima si ha :

f   è  detto   “fattore finito”  mentre  dg   è detto  “fattore differenziale”.

La  (1)  ci  dice che  l'integrale del prodotto di  un fattore finito  (f), per  un  fattore differenziale  (dg)  è uguale al prodotto del fattore finito per l'integrale del fattore differenziale diminuito  dell'integrale del prodotto dell'integrale trovato (cioè ' g ' )  per il differenziale del fattore finito (df).

Come primo esempio vogliamo calcolare il seguente integrale :

Ricordarsi che del fattore differenziale bisogna saperne calcolare l’integrale … per cui scegliamo (x _* dx)  come fattore differenziale ed Ln (x) come fattore finito. 

N.B.       Ln (x) è il logaritmo naturale di x. Avremo così :

Come secondo esempio, vogliamo calcolare l’integrale :  

La scelta del fattore finito sembrerebbe indifferente, ma conviene  x   perché il suo differenziale è  ( 1 _* dx ). Quindi  cos (x) _* dx  verrà  considerato fattore differenziale, per cui avremo  :

In ogni caso, come verifica, la derivata del risultato deve uguagliare la funzione che si è integrata.

 _{0000000000000000}

INTEGRAZIONE  PER  SOSTITUZIONE

Ricordiamo tre integrali  :

                                      

                                          

Col metodo di sostituzione  riusciremo a ricondurre degli integrali ad uno dei tre tipi precedenti.

Primo esempio

Potremo ricondurre questo integrale al tipo 1)   ponendo :

2_*x + 5 = t  per cui segue che : 2 _* dx = dt  ,  dx = dt /2  e di conseguenza avremo :

E basterà sostituire ‘ t ‘ con ‘ 2_*x + 5 ‘.

Secondo esempio

Potremo ricondurre questo integrale al tipo 2) ponendo :

3_*x + 7 = t   per cui segue che : 3 _* dx = dt ,   dx = dt / 3     e di conseguenza avremo :

 

Terzo esempio

anche se non sembra è riconducibile al caso 1) :

se poniamo  sin (x) = t  , risulta : cos (x) _* dx = dt   quindi  :

   

Per finire

 calcolare il valore dell’integrale  :

se si pone  3_*x² + 5 = t   si ha :

 6_*x_*dx = dt , quindi :    x_*dx = dt / 6   ecc.

In ogni caso, come verifica, la derivata del risultato deve uguagliare la funzione che si è integrata.

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MATEMATICA : Calcolo delle coordinate del centro e del raggio del cerchio inscritto in un triangolo

MATEMATICA : Calcolo delle coordinate del centro e del raggio della circonferenza inscritta in un triangolo, date le coordinate dei suoi vertici

Siano A (-8,5) , B (2,7) , C (3,-9) le coordinate 

dei vertici di un triangolo nel quale inscrivere 

la circonferenza.

Per cominciare calcoliamo la lunghezza dei tre 

lati AB, BC, CA :

AB = 10.2    ,     BC =  16.03     ,     CA = 17.8

e la sua area con la formula di Erone :

essendo  il semiperimetro :      p = 22.02

Il rapporto fra l’area del triangolo e il semiperimetro ci dà la misura del raggio della 

circonferenza inscritta  :                 R = Area triangolo / p = 3.68

Le coordinate (x_C,y_C) del centro della circonferenza inscritta nel triangolo sono date dalle due 

formule :

x_C = x_A*BC + x_B*CA + x_C*AB = - 1.41

y_C = y_A*BC + y_B*CA + y_C*AB = 2-57

Da notare che BC , CA ed AB sono i lati opposti ai vertici A, B e C del triangolo.

Da ricordare che in geometria l'incentro è il punto d'incontro delle bisettrici del triangolo

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Velocità degli elettroni che trasportano la corrente elettrica.

Quanto vale la velocità media degli elettroni che trasportano la corrente elettrica ?

Consideriamo un conduttore cilindrico di rame (d = 8.9 g / cm³. peso atomico : A = 64), di lunghezza L e sezione S, percorso da una corrente elettrica, di data intensità.

L'intensità della corrente : i = dq / dt  è data dal  rapporto  fra  la carica ' dq ' che nel tempo ' dt ' attraversa la generica sezione S e il tempo ' dt ' stesso. Se questi elettroni hanno una velocità  (media)  V, nel tempo dt occupano il volume di un cilindretto  di  area  S e altezza  V _* dt. Per calcolare quanti elettroni hanno attraversato la sezione, basterà  calcolare  quanti  ce ne sono nel volumetto  S _* V _* dt.

Dalla formula inversa della densità, possiamo ricavare la massa di questo conduttore :

m = d _* Volume = d _* S _* L.

Sappiamo che in un numero di grammi pari al peso atomico A = 64, quindi in  64  (g) di rame c'è un numero di atomi pari al numero N di Avogadro, per cui la massa in grammi di un solo atomo di rame sarà data da :

massa di un solo atomo = A / N.

Se dividiamo la massa m del nostro conduttore per la massa di un atomo otteniamo   il numero di atomi   che  sono contenuti  nel  nostro  conduttore :

numero di atomi contenuti nel conduttore =  m / (A / N) = m _* N / A

Se dividiamo questo numero per il volume (S _* L)  del  conduttore,  otteniamo il  numero di atomi per unità di volume = m _* N / (A _* S _* L).

Se ad  m  sostituiamo il valore d _* S _* L, la quantità  :  d _* N / A   rappresenta  il  numero  di atomi di rame  contenuti  in  1  cm³  del conduttore,(ed anche il numero di elettroni di conduzione, se facciamo l'ipotesi che ogni atomo di rame ne abbia uno solo).

Per calcolarlo basterà moltiplicare per questo volumetto il numero di quelli presenti in 1 cm³. Quindi il  numero  degli  elettroni  di  conduzione  che nel tempo dt attraversano la generica sezione S vale  :  d _* N / A) _* S _* V _* dt    

Per avere il  valore  assoluto  della carica 'dq ' che  trasportano, basterà  moltiplicare  il  loro  numero per il valore  assoluto  della carica |e|  di ciascun elettrone.

Quindi : dq = (d _* N / A) _* S _* V _* dt _* |e|. Ed ecco infine il valore dell'intensità della corrente :

i = dq / dt = (d _* N / A) _* S _* V _* |e|.

Con una formula inversa ricaveremo la velocità media degli elettroni :

V = i _* A / (d _* N _* S _* |e|).

Se ad. es. il valore del raggio di  un  filo di rame r = 0.1 ( cm) ed il valore dell'intensità della corrente i = 2 (A), risulta V = 0.0048 (cm/s).

Questa velocità è piccolissima ma il moto si propaga a tutti gli elettroni di conduzione del

circuito quasi istantaneamente.