La Terza legge di Keplero spiega perché i pianeti più lontani dal Sole (o da una stella qualsiasi sono più lenti quanto più ne sono distanti

LA  MASSA  DEL  SOLE  E  LA  TERZA  LEGGE  DI  KEPLERO

Per mezzo della Legge di Gravitazione Universale,  conoscendo la distanza dal Sole e  il perio-

do di  rivoluzione  della Terra  o  di uno qualsiasi  dei  pianeti del sistema solare, si può calco-

lare il valore della massa del Sole.

La formula finale ci farà trovare la Terza legge di Keplero.

Basta  uguagliare  la  forza  attrattiva  da  parte  del  Sole  alla  forza  centrifuga che agisce sul

pianeta (nell'ipotesi che il moto del pianeta sia circolare uniforme).

Se il pianeta è la Terra, sappiamo che il raggio medio della sua orbita è di circa 150 milioni di

chilometri e il suo periodo T = 365 giorni,    v = 2 _* π _* r / T.

(1)  G _* M _* m / r ² = m _* v ² /  r  

si possono dividere entrambi i membri per ' m / r '  e si ottiene :

  M = 4_*π²_* r ³  /  ( G _*T² )   =   2_*10³⁰ (kg)

Da quest'ultima  uguaglianza  vediamo  che  per tutti  i  pianeti che ruotano intorno al Sole o

ad un’altra stella qualsiasi,  i cubi dei  semiassi maggiori  delle orbite  sono  proporzionali ai

quadrati dei loro periodi di rivoluzione. 

r ³ / T ² =  G _* M  / 4 _* π ² = costante per ogni dato M.

TuttI i pianeti più distanti dal Sole hanno semiassi maggiori  e  periodi  maggiori,  quindi sono

più lenti.

Conoscendo il raggio dell'orbita lunare (384400 km) ed il periodo di rivoluzione della Luna

(27,32 giorni), la stessa equazione consente di calcolare la massa M della Terra, invece di quel-

la del Sole.

Dalla (1) si ricava la velocità del pianeta del sistema solare o dei satelliti artificiali della Terra.

Da questa formula possiamo ad es. dedurre che la velocità di un satellite in un'orbita di raggio quadruplo dev'essere la metà di quella di un satellite di raggio 1/4 ed infatti, in base alla Legge di Keplero avevamo detto che quelli più lontani hanno periodi più lunghi e quindi sono più lenti.

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