CALCOLO RAPIDO DELLA SOMMA O DELLA DIFFERENZA DI DUE VETTORI

SOMMA E DIFFERENZA  DI  DUE VETTORI  (Calcolo rapido)

La differenza di due vettori si riconduce alla somma, perché basta sommare al primo, il vettore opposto del secondo.

La differenza interessa ad es. per calcolare una variazione di velocità vettoriale in un dato intervallo di tempo, per cui  dV = V₂ – V₁ .

Per variazione in Fisica si intende sempre la differenza fra il valore finale e quello iniziale.

Riportando i due vettori in uno stesso punto, si vede che il vettore differenza è quello che unisce le punte delle frecce dei due vettori dati col verso dalla punta di V₁ a quella di V₂.

Se si conosce il valore dell’angolo compreso fra i due vettori, per calcolare la loro differenza si può usare la formula :

Per dimostrare questa formula basta applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di ipotenusa dV e di cateti : h = v_1* sin (β)   e     v2 - v_1*cos (β) .

Basterà poi ricordare che : [cos²(β) + sin²(β)] = 1 

Anche per la somma di due vettori c’è una formula analoga, col segno + al posto del segno negativo (In Trigonometria deriverebbe dal Teorema di Carnot o del coseno).

| v_{1 +} v₂| ² =  OT ²  +  TS ² = [ v₂ + v_1*cos (β)]² + [v_1*sin(β)]² =

= v₂² + v₁²_*[cos²(β) + sin²(β)] + 2_*v_1*v_2*cos (β) =  v₁²  +  v₂²  +  2 _* v_{1 *} v_{2 *} cos (

Dato che : [cos²(β) + sin²(β)] = 1 , si ha :

 Ed ecco un esempio numerico :

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La forza centrifuga in curva (come forza apparente).

LA FORZA CENTRIFUGA E LA SOPRAELEVAZIONE STRADALE NELLE CURVE

Se una curva di raggio R è sopraelevata di un dato angolo  β  quanto può valere la massima

velocità nella curva se non c’è attrito?

Se la vettura ha massa m in curva le occorre una forza centripeta uguale a :

 

F_c =  m_*V² / R

Se non c’è attrito chi le fornirà questa forza?

La risposta è semplice : IL SUO STESSO PESO che fornisce una componente F_c  in direzione orizzontale e l’altra N  in direzione ortogonale al piano inclinato stradale, che viene annullata dalla reazione vincolare del piano.  

F_c  e  P  sono  legati  dalla relazione  F_c = P_*tg (β)  quindi :

m_*V²/R = m_*g_*tg(β)

Infine risulta : V² = g_*R_*tg (β)  INDIPENDENTEMENTE DALLA MASSA m del veicolo.

Dati veri, riguardanti un circuito automobilistico in Florida :

R = 300  (m)  , α = 30°  ,  V_Max in curva senza slittare = 41  (m/s) = 149  (km/h)

Un osservatore esterno che vede il passeggero spingersi contro lo sportello ,  pensa (giustamente) che a questo serva una forza centripeta per affrontare la curva ed infatti si spinge contro lo sportello per ottenere una reazione  rivolta verso il centro.

Nel sistema fisso (esterno), non c'è alcuna forza centrifuga, ma soltanto la centripeta, fornita  dalla reazione dello sportello sul quale preme il viaggiatore.

Così la forza centrifuga c'è per i panni che si trovano dentro il cestello rotante di una lavatrice.

                                                  

Molti problemi di Fisica si capiscono più facilmente immaginandoci all'interno del sistema rotante e utilizzando quindi la forza centrifuga, non la centripeta.

Anche un bambino potrà capire che l'acqua del suo cestello non cade se si fa ruotare velocemente in un piano verticale perchè il peso dell'acqua è bilanciato o superato dalla forza centrifuga. Se gli parlassimo di forza centripeta molto probabilmente non capirebbe.

Analogamente potrà capire che la Terra non cade sul Sole e la Luna non cade sulla Terra per la rotazione e per la forza centrifuga.

Il ciclista in curva si inclina per ottenere la forza  necessaria grazie al proprio peso e a quello

della bicicletta. La stessa cosa vale per il motociclista.

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SISTEMI INERZIALI E NON. (LE FORZE APPARENTI)

SISTEMI  INERZIALI  E  NON.  (LE  FORZE  APPARENTI)

Immaginiamo di appoggiare una moneta   su  un foglio  di   carta. Se tiriamo con una forza  F, anche la moneta si sposterà insieme al foglio, a causa dell'attrito.

Ma, se non ci fosse attrito, ad  un  osservatore  esterno  la  moneta apparirebbe ferma, mentre un osservatore solidale col foglio di carta, la vedrebbe accelerare verso sinistra.

(Per capire questo effetto, basta sollevare la moneta e tirare il foglio) e immaginare di trovarcisi sopra. Per vedere realmente l'effetto si dovrebbe sostituire la moneta con una pasticca di ghiaccio secco (anidride carbonica solida, di attrito quasi nullo).

Ma potremo capirlo lo stesso se proviamo a tenere sollevata e ferma la moneta, mentre  tiriamo

il foglio verso destra.

La nostra mano che tira verso destra,  vedrebbe la moneta allontanarsi, accelerando verso sinistra.

E' quello  che  capita ai passeggeri  di  un autobus , se  questo  parte  bruscamente,  mentre in una brusca  frenata  succederebbe  la  stessa  cosa , ma  nel  verso  del moto. 

Tutti i passeggeri acquisterebbero la stessa accelerazione, (sempre di verso opposto a quella del-

l'autobus).

Questa forza che agisce soltanto all'interno di un sistema accelerato,  in realtà non esiste.

La verità è che all'interno di un sistema accelerato (o decelerato),  le  leggi  della  dinamica  non

sono più valide.

Ma chi si trova dentro preferisce inventarsi una forza detta appunto ' apparente ' pur  di  non rinunciare alle leggi della dinamica.

Per ottenere questa forza, moltiplicherà la massa di ogni oggetto che si trova all'interno, quindi

anche quella del proprio corpo, per l'accelerazione o decelerazione apparente  (che è opposta a

quella del mezzo sul quale si trova).

Si dice che un  sistema accelerato o decelerato  ' non è un sistema inerziale.

 In esso  non  vale né il principio d'inerzia, né  gli altri principi della dinamica, a meno che non si aggiunga la forza apparente.

Ed ecco un primo esempio significativo :

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IL TUBO DI NEWTON E CADUTA DEI GRAVI NEL VUOTO

IL TUBO DI NEWTON  E  CADUTA  DEI  GRAVI  NEL  VUOTO

L'esperienza dimostra che corpi di diversa massa, come ad es. una  piuma  ed  una pallina metallica, posti all'interno di un tubo dal quale è  stata estratta l'aria, cadono insieme, quindi con  la stessa accelerazione  g = 9.806 (m/s²),  (detta  accelerazione di gravità e indicata appunto con la lettera  'g '). 

Ad un'altezza da Terra di circa 3200 metri, l'accelerazione di gravità è diminuita  rispetto al valore che ha al livello del mare, di circa l'un per mille, per cui per le ordinarie altezze e a 45° di latitudine,  si può considerare costante    ( g = 9.806 m / s ² ) . 

Noi nel seguito useremo sempre il valore con un solo decimale.

Il peso di un corpo non è altro che la forza con cui la Terra lo attira quando si trova ad un'altezza dal suolo compresa fra zero e 3000 (m), per cui si ha :

F = P  ed   a = g .

Dato che : F = m _* a , sostituendo avremo  :  P = m _* g .

E' chiaro  che due corpi di massa l'una doppia dell'altra  (m₁=m  ed  m₂=2_*m) , sono attratti dalla Terra con forze diverse, l'una doppia dell'altra :

F₁=P, F₂= 2_*P, ma il rapporto  F / m risulta lo stesso : F₁/m₁ = F₂/m₂ = P/m = (2_*P)/(2_*m) = g .

Se non disponiamo di un laboratorio, possiamo far capire anche ad un profano che un libro e un foglio di carta, in assenza d'aria, cadrebbero contemporaneamente da una  stessa altezza.

Basterà appallottolare la carta, oppure appoggiarla stesa sulla  copertina superiore del libro prima di farli cadere. Si vedrà che ... arriveranno insieme.

                                     Ed ecco i grafici (s, t) e (v, t) e una tabella di valori :

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LA VELOCITA’ ISTANTANEA COME PENDENZA DELLA TANGENTE ALLA CURVA SPAZIO-TEMPO

LA  VELOCITA’  ISTANTANEA  COME  PENDENZA  DELLA  TANGENTE  ALLA CURVA  SPAZIO-TEMPO

1)  Quanti secondi vale l'istante t₁ ?

            

            2)  Quanti secondi vale l'istante t₂ ?

            3)   Quanti metri vengono percorsi fra  t1 e  t₂ ?

            4)    Sapendo che t₂ - t₁ = 5  secondi, sai dire quanto vale la velocità media fra t₁  e  t₂ ?

      5)     L'istante  t₃  è più vicino a  t₁  (di  t₂), sai dire quanto vale la velocità media fra  t₁ e  t₃ ?

Potrai notare che se consideri altri istanti :  t₄ , t₅ , ... sempre più vicini a t₁ , le velocità medie fra  t₁  e  t₄, o fra  t₁  e  t₅ ,  ecc. differiranno sempre meno l'una dall'altra.

Infatti il punto  B  risulta sempre più vicino ad A  ed  il tratto AB tende sempre di più a diventare rettilineo (per cui  il  moto  in  quell'intervallo  di tempo, sempre  più  piccolo, tende a diventare uniforme.

Il rapporto fra spazio percorso e tempo impiegato viene fatto  fra i due cateti di triangoli  simili. 

Se l'intervallo di tempo successivo a  t₁  è  veramente  piccolo in confronto  alla  durata totale del moto, la secante  AB  tende a confondersi con la tangente geometrica alla curva  nel  punto A e la sua pendenza fornisce la  velocità  istantanea. Così  per calcolare  la  velocità  all'istante  t₁ basterà fare il rapporto fra due cateti come PM  ed  AM  di un punto P  preso sulla tangente.

Quanto più grandi sono questi due cateti, tanto  maggiore sarà  la  precisione della  misura della velocità istantanea.

6)      Quanti metri vale il cateto PM? 

7)      Quanti secondi vale il cateto MA?

      8) Quanto vale la velocità all'istante t1 = 5 secondi?

      9)  Fra  t=0  e  t=15 secondi, la velocità va aumentando o diminuendo : (A / D) ?

   

  

  10) La velocità all'istante t2 = 10 s è superiore a 15 m/s : (V / F) ?

  11)  Quanto vale la velocità fra 15 e 30 secondi?           v = ... ? (m/s)

  12) La velocità dopo il 30° secondo va aumentando o diminuendo :  (A / D) ?

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PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI NELLE MISURE INDIRETTE

PROPAGAZIONE  DEGLI  ERRORI  NELLE  MISURE  INDIRETTE  DI  DUE  O  PIU’  GRANDEZZE  FISICHE

1      Una misura di lunghezza  è  stata  scritta  nella  forma :  L = (24,5  ±  0,2) cm.

2      Quali sono i valori massimo e minimo fra i quali è compresa?         

3      Quanto vale il valore massimo?           (24,7)

4      Quanto vale il valore minimo?             (24,3)    
S
S    Potrai capire facilmente che  l'errore assoluto  (dL) di più misure ripetute di una stessa grandezza  può essere calcolato con l'importante formula  :

dL  =  [ L_(max) - L_(min) ]  /  2

Infatti  :  (24,7 – 24,3) / 2  =  0,2

Vogliamo ora dimostrare che l'errore assoluto della somma o della differenza di due o più

grandezze fisiche (omogenee  ovviamente)  è uguale alla somma dei loro errori assoluti.

Se ad es. sono date le due misure  :   L₁ = (32 ± 2) cm  ,   L₂ = (12 ± 3)  cm,  basta  capire  che 

una  differenza fra due valori è massima, se il primo termine (L₁)  è massimo  ed  il secondo

(L₂)  è  minimo. Infatti :  D_(max)  =  34 - 9 = 25  (cm) e  D _(min) =  15 cm ,  e l'errore assoluto

della differenza :

[D _(max) - D _(min) ] / 2 = (25 - 15) / 2 = 5 cm

Non bisogna pensare che se i due errori assoluti sono uguali, quello della loro differenza  sia

zero, perché in realtà è doppio.

Non si può escludere che il  risultato  di una misura  possa  avere errore zero, ma non possia-

mo saperlo e con gli errori si ha il dovere di essere pessimisti (mai troppo ottimisti).

Rimane  allo  studente  da  dimostrare che anche l'errore assoluto della  somma  è  anch’esso

uguale alla somma degli errori assoluti delle due (o più) grandezze.

  

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MISURE INDIRETTE DEL PRODOTTO E DEL QUOZIENTE DI DUE GRANDEZZE FISICHE.

Vogliamo dimostrare che per il prodotto  P = A_*B  o  per il quoziente   Q = A / B   si sommano

gli errori relativi, (non quelli assoluti) .

dA  e  dB  sono gli errori assoluti su A  e  B.  

Dimostreremo però solo il caso del prodotto :

Cominciamo col ricordare che : 3)  dP  = (P_max  -  P_min) / 2

Il prodotto è massimo o minimo se  A  e   B  sono entrambi massimi o minimi, quindi :

 4)  P_max = A_max*   B_max  = (A + dA) _* (B + dB) = A_*B + A_*dB + B_*dA + dA_*dB  =

= (approssimativamente) = A_*B + A_*dB + B_*dA

perché il prodotto (dA_*dB)  normalmente è molto minore degli altri termini. (Già  dA  e  dB 

normalmente sono molto più piccoli di A e B) .

Analogamente, si ha  :

5)    P_min = (A_{min *} B_min) = (A - dA) _* (B - dB) = A _* B  - A _* dB - B _* dA

Sostituendo  4)  e  5) nella  3) ,  si  ha  :               6)   dP = A*dB + B*dA.  quindi  :

 C.V.D.

Non dovrebbe essere difficile ricordare a memoria la formula 6), che darebbe  direttamente 

l'errore assoluto del prodotto di due grandezze, ma  nel caso che  queste siano più di due, la

formula dell'errore assoluto sarebbe più complicata. Per questa ragione useremo la 1).

Se  dP /  P   =  k ,  l'errore assoluto su  P  sarà dato da  :  dP = k _* P.

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Misura dell’area di un rettangolo e calcolo dell’errore assoluto

Non volendo lasciare più di una cifra significativa sull’errore assoluto, ci conviene trasformare l’area in cm² dividendo per 100 sia l’area che il suo errore assoluto.

Quindi l’area del nostro rettangolo è uguale a :

(2)  S = (102,31  ± 0.35) cm² = (102,3  ± 0.4) cm²

Come abbiamo detto, sull'errore assoluto non si tollera più di una cifra significativa, per cui, in questi casi :

se                       dS < 1                 si lascia un solo decimale 
se invece  1 < dS < 10    nessun decimale

e se       dS > 10                      trasformiamo in cm²

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MISURIAMO  IL  VOLUME  DI  UN  CILINDRO  DANDONE  L’ERRORE  ASSOLUTO

Se r = 600 (mm) ± 5 (mm)  ed  h = 500 (mm) ± 5 (mm)

risulta : V = (565486200 ± 13,33)  (mm³)

Normalmente sull’errore assoluto non si tollera più di una cifra significativa, per cui ci conviene trasformare il valore del volume e del suo errore assoluto in cm³.

Se   dV < 1           si lascia un solo decimale

Se  1 < dV < 10    nessun decimale

Se  dV > 10          trasformiamo in cm³

Nel nostro caso, scriveremo il risultato come segue :

V = (565486,20  ± 0.01)  (cm³)

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