Dinamica Sistemi rigidi rotanti : Moto di una sferetta che rotola senza strisciare, lungo un piano inclinato.

MOTO DI ROTOLAMENTO SENZA STRISCIAMENTO DI UN CILINDRO SU PIANO ORIZZONTALE.

Moto di puro rotolamento (senza strisciamento) di un cilindro su un piano orizzontale

Se un cilindro di raggio r rotola  senza strisciare, possiamo trovare una relazione  fra  i  valori  lineari  delle grandezze spostamento, velocità e accelerazione e quelli angolari. Quando  il  centro  del  cilindro  avanza  di una circonferenza, ha descritto un angolo giro, sicché : s = r _* β (infatti se  ‘ s ‘  è  uguale a una circonferenza, l’angolo fatto da una generatrice è 2 _* π radianti).

Il legame fra  V  e  ω  sarà  dato  da : V =  r _* ω, mentre  quello  fra  accelerazione  lineare  e accelerazione angolare  α  sarà dato da : a = r _* α  ,  (con  α = dω / dt).

s = r * β     (con β in radianti)  ,   V = r * ω  ,    a = r * α

Se non ci fosse attrito, il corpo scivolerebbe e non potrebbe rotolare.   Vogliamo dimostrare che sul piano orizzontale, l'accelerazione prodotta dalla forza F è 2 / 3 di quella che ci sarebbe se non ci fosse attrito.

 Per il moto rotatorio useremo l'equazione : M = I_*α essendo I = m_* r² / 2    il momento d'inerzia del cilindro rispetto al suo asse di rotazione baricentrico ed  α = dω / dt  l'accelerazione angolare.

Il momento della forza F rispetto all'asse baricentrico è nullo,  quindi  rimane  quello della forza d'attrito :  M = F_{a *} r = (m _* r ² / 2) _* α. Da cui ricaviamo il valore : F_a = (m _* r / 2) _*  α = m _* a / 2 , dato che a = r _* α.

Il moto è roto-traslatorio e fin qui abbiamo considerato solo la rotazione.

Per il moto traslatorio, scriveremo :  F - F_a  =  m_*a. Sostituendo  ad  F_a  il  valore  trovato  prima,  avremo  a = (2 / 3) _* F / m      (come avevamo detto all’inizio).

Se usiamo l'asse istantaneo di rotazione (nel contatto cilindro-piano), basterà una sola equazione (anziché due e a volte anche più di due), per ottenere gli stessi risultati precedenti pur di riferire a  questo nuovo asse  sia  il  nuovo  valore del momento d'inerzia (aggiungendo al vecchio m_*r² )  che al momento delle forze esterne. (Ora il momento della forza d'attrito è nullo  Fa * 0 = 0), ma non lo è quello di F  che vale  F _* r .

I = ( m _* r² / 2  +  m _* r² )  =  3 _* m _* r² / 2 . Quindi avremo :

  M = F_* r  =  I _* α    è   F _* r = (  3_*m_*r² / 2) _* α è F = (3_*m_*r/2)_*α è r _* α = a = (2/3)_*F/m

Dati I valori numerici : m = 20  (kg)  ,  r = 0.4  (m)  ,  F = 120  (N)

Risultati : a = 4  (m/s²) , α = dω/dt = 10   (rad/s²)  ,  F_a = 40  (N) 

Per poter stabilire se c'è rotolamento puro, senza strisciamento, è necessario che la forza d'attrito Fa calcolata sia minore di quella di attrito statico (calcolabile soltanto se si conosce non solo la massa del corpo, ma anche il coefficiente d'attrito statico).

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MATEMATICA : Geometria analitica : Calcolo coordinate centro cerchio inscritto in triangolo, date le tre coordinate.

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TRASFORMAZIONE DI UN NUMERO DA BASE 10 A BASE 2 (Sia intero che decimale)

TRASFORMAZIONE  DI  UN  NUMERO  DA  BASE 10  A  BASE  2

Come esempio trasformiamo il numero 35 da base 10 a base 2.

Vogliamo far capire che :  35₁₀ = 100011₂

       _{E ORA TRASFORMIAMO UN NUMERO DECIMALE DA BASE 10 A BASE 2} 

(1_*2³  +  1_*2²  +  1_*2¹  +  1_*2⁰)   +   (0_*2^-1 + 1_*2^-2 + 0_*2^-3 + 1_*2^-4) = 15.32

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STUDIO SPERIMENTALE DEL MOTO  ARMONICO

Si  può  verificare  sperimentalmente  che  il moto oscillatorio di una  massa attaccata a una molla può  essere considerato  come  proiezione  di  un moto circolare  uniforme su un piano ortogonale alla circonferenza.

Allungando o comprimendo la molla, la massa appesa, sotto l'azione della forza elastica oscilla intorno alla posizione centrale di equilibrio.

Cronometrando il tempo di 10 oscillazioni complete (come minimo, per ridurre l'errore) e dividendolo per il loro numero, potremo ottenere  il valore del periodo T, cioè della durata di una oscillazione da un estremo  all'estremo stesso.

Potremo anche verificare che non varia al variare dell'ampiezza dell'oscillazione, pur di non

superare i limiti di elasticità della molla (ISOCRONISMO).

Passiamo ora allo studio sperimentale del legame esistente fra periodo e massa m oscillante.

Ecco i risultati di vecchie misure : 

Successivamente si è studiata la dipendenza del periodo dalla costante della molla, per cui si è utilizzata una sola massa appendendola a molle di diversa costante elastica.

Nella  (4)   non   compare  il  raggio ' R '   (ampiezza del moto armonico).

Quindi, fissati i valori della massa ' m ' e della costante  ' k ' della molla, le oscillazioni armoniche sono ISOCRONE perché indipendenti dall'ampiezza dell'oscillazione (avvengono cioè in uno stesso tempo).

Galileo (secondo una leggenda)  aveva scoperto la legge dell’isocronismo usando come .. orologio il battito del suo polso e come oscillatore un lampadario del duomo di Pisa.

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Lo spettrometro di massa e gli isotopi

LO  SPETTROMETRO  DI  MASSA (Aston 1919)

Un fascetto di ioni positivi, proveniente dal punto  S,  entra in una prima camera in cui sono presenti sia un  campo elettrico (fra le armature del condensatore),  che un  campo magnetico ortogonale a quello elettrico e di verso entrante nel video.

Questi due campi fanno passare dalla fenditura F soltanto ioni aventi una stessa velocità (selettore di velocità).

Infatti  se  la forza  elettrica   q_*E   e  quella  magnetica   B_*q_*v hanno la stessa  intensità   (e versi opposti),  non verranno deviati solo quegli ioni la cui velocità è tale che sia :

                                            q_*E = B_*q_*v ,     cioè se  :    v = E / B.

Gli ioni che attraversano la fenditura F (aventi quindi una stessa velocità), entrano  in  una  seconda  camera,  (anch'essa immersa in un campo magnetico, ortogonale al monitor  e  di verso entrante), e dopo aver descritto mezza circonferenza,  per  la  forza  di Lorentz), vanno a sbattere su una lastra fotografica.

Il raggio di curvatura  :  R = m_*v / ( B_*q),  dipenderà  dal rapporto  m / q  fra la massa e la carica dello ione.

Sarà così possibile rivelare la presenza di ioni di massa diversa (a parità di carica q). Le due camere sono sotto vuoto spinto per evitare le deviazioni causate dagli urti fra ioni e molecole d'aria.

Lo spettrometro di massa fu inventato nel 1919,  dal fisico inglese Aston.  Con  questo  apparecchio  dimostrò che il comune cloro è in realtà una miscela di due tipi diversi di atomi con proprietà chimiche identiche.

Il 75 %  degli atomi  di  cloro  impressionavano la  lastra  fotografica  in un punto corrispondente alla massa 35 e il 25 %  in un altro punto corrispondente a massa 37. Col suo strumento si  esaminarono  poi altri elementi e si scoprì così che la maggior parte di essi è in realtà una miscela di due o più isotopi,  come vengono chiamati gli elementi che nel loro nucleo contengono lo stesso numero di protoni, ma un diverso numero di neutroni.

 Così ad es. si scoprì che il  99.3 %  dell'Uranio è costituito dall'isotopo 238, mentre solo  lo  0.7 %  è costituito dall'isotopo 235 che ha 3 neutroni in meno nel nucleo.

Entrambi  gli  isotopi hanno lo stesso numero di protoni (92), ma un diverso numero di neutroni.

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IL CICLOTRONE : Acceleratore di particelle cariche.

IL CICLOTRONE DI LAWRENCE (1932)

Il ciclotrone, realizzato in America nel 1932, è un'ingegnosa apparecchiatura che permette di 

accelerare protoni  o  elettroni, applicando loro per un gran numero di volte la stessa d.d.p. Vo, 

per cui in ' n ' giri  è  come se lo ione  fosse accelerato con una tensione di valore  (n _* Vo) .

La d.d.p.  V_o  è applicata fra i due conduttori di rame aventi la forma di due D, che sono le due 

parti di una scatola cilindrica tagliata a metà nella zona diametrale. 

Il tutto è sotto vuoto spinto ed è posto fra i poli di un potente elettromagnete.

All'interno delle D il campo elettrico è nullo  e  vi agisce soltanto il campo magnetico che fa in-

curvare la traiettoria.

Soltanto nel passare da una  D all'altra,  gli ioni  subiscono l'azione della tensione V_o applicata 

fra esse.

Ricordando che il raggio di curvatura : r = m _* v / (B _* q),  si  capisce  che  all'aumentare della 

velocità  ' v 'dello ione,  aumenta anche il raggio di curvatura della  traiettoria,   per  cui basta 

cambiare il segno della d.d.p. V_o, in sincronia col passaggio dello ione da una D all'altra. 

Ciò è possibile grazie  al fatto  che  il  tempo impiegato  dal  singolo  ione  per  fare un giro non 

dipende dal raggio della traiettoria,  ma solo dal rapporto  fra  la  carica e la massa dello ione e 

dall'intensità del campo magnetico  B.

Infatti si sa che il periodo T = 2_*π _* r / v  ed essendo   r  =  m_*v / ( B_*q),  risulta :

T = 2_*π_*m / ( B_*q)

Quindi la velocità aumenta in proporzione all'aumento del raggio dell'orbita.

Basterà quindi applicare alle due  D  del ciclotrone  una tensione  'alternata'  regolandone la 

frequenza ad un valore tale che nel tempo impiegato dallo ione per descrivere mezza circon-

ferenza,  si  presenti nel corridoio, un campo elettrico concorde.

Lo ione farà così come il povero somaro che vede costantemente una carota  davanti  al  muso  

e  per tentare di raggiungerla le corre dietro, in cerchio, e .. sempre più veloce.

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COME VERIFICARE IN LABORATORIO LA LEGGE DI OHM

ANALOGIA  IDRICA  CON LA LEGGE DI OHM

Se si apre il rubinetto che mette in comunicazione due recipienti, il liquido si mette in movimento, finché c'è un dislivello.

Per ottenere una corrente di intensità costante è necessario mantenere un dislivello costante, (ad es. con  un rubinetto che immette liquido da una parte ed un foro dall'altra).

Analogamente, per avere  una  corrente elettrica  di  intensità costante in un conduttore, basterà mantenere una  d.d.p. costante ai suoi estremi.

Una pila, un accumulatore, o un alimentatore, sono capaci di  mantenere una  d.d.p. costante  ai   capi di un conduttore e quindi di mantenervi una corrente di intensità costante.

Per ora non è necessario sapere come funziona un generatore elettrico  e   basterà  ricordare  che nel polo positivo esso mantiene un difetto di elettroni e nel negativo, un eccesso.

Se fra questi due poli colleghiamo gli estremi di un conduttore, gli elettroni di conduzione di questo si metteranno in  moto perché attratti dal polo positivo e respinti dal negativo.

Convenzionalmente si dice però che la corrente elettrica è costituita dal movimento di cariche positive, respinte dal polo positivo e attratte dal negativo, anche se è vero il contrario (perché gli elettroni sono stati scoperti successivamente).

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VERIFICA SPERIMENTALE DELLA LEGGE DI OHM

Ecco il circuito di base (comune a molte esercitazioni). Prima si fa studiare alla lavagna.

Dal morsetto positivo dell’alimentatore si va col filo conduttore 1 all’estremo di sinistra del reostato, mentre si collega l’altro estremo al polo negativo dell’alimentatore col filo 2.

Con il filo 3 si va dal morsetto di sinistra ‘D‘ del reostato, all’ingresso positivo dell’amperometro. 

Dal morsetto negativo dell’amperometro si va col filo 4 all’estremo di sinistra del conduttore R_x e l’altro estremo di R_x viene collegato al cursore del reostato col filo 5 in modo da poter variare la d.d.p ai capi di R_x.

Infine il voltmetro viene collegato con due conduttori (6 e 7) agli estremi di R_x per poter misurare le varie d.d.p. che verranno applicate variando di volta in volta la posizione del cursore del reostato. Per questo circuito sono necessari 7 conduttori con spinotti agli estremi.(Non si fanno saldature).

Ricordo che tutti gli anni lanciavo  la sfida a montare questo circuito con gli occhi bendati e iniziava la lotta perché tutti se la sentivano di provare. Così acquistavano presto la sicurezza necessaria per montare un circuito elettrico (.. dopo, ma con gli occhi sempre ben aperti).

Lo scopo di questa esercitazione è quello di studiare come varia l’intensità della corrente nel conduttore R al variare della d.d.p. V applicata ai suoi estremi.

Prima di chiudere l'interruttore, raccomandavo di assicurarsi che il  cursore  del reostato fosse  più vicino possibile  al 'morsetto doppio D' (per non bruciare i due strumenti di misura).

Per questi raccomandavo di  scegliere  portate  sovrabbondanti, da ridurre successivamente.

Chiuso l'interruttore  ' t '  e  spostato  lentamente il cursore del reostato verso destra,  si può misurare la prima coppia di valori (i, V), facendo  in  modo (se possibile),  che le  indicazioni dei  due strumenti  non cadano al disotto del primo quarto della loro scala, (dove sarebbero meno precise).

Il grafico di vecchie misure (riportato  nella figura accanto), ci consentì di affermare che la d.d.p. V applicata agli estremi del conduttore R  e l'intensità  della  corrente ' i ' che,  di  conseguenza l'attraversa, sono direttamente proporzionali, per cui il loro rapporto : V / i = costante.

E' per l'analogia con le correnti liquide che al valore di questo rapporto si è dato il nome di  'resistenza elettrica'  e  si pone : 

V  /  i  =  R.

In onore di chi scoprì questa legge, la resistenza elettrica si misura in Ohm (il cui simbolo è Ω)

 1 Ω = 1 (V) / 1 (A).

Quindi ha la resistenza di 1 Ω, quel conduttore che, con la d.d.p. di 1 Volt  agli estremi,  viene  attraversato dalla corrente di 1 Ampere.

   1 (Ω )  =  1 (V ) / 1 (A)

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I PRINCIPI DI KIRCHOFF : CASO DI CIRCUITO CON DUE MAGLIE

I PRINCIPI DI KIRCHOFF : CASO  DI  CIRCUITO  ELETTRICO CON  DUE  MAGLIE

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Un altro circuito con fem ed fcem (con spiegazione dei calcoli).