La Terza legge di Keplero spiega perché i pianeti più lontani dal Sole (o da una stella qualsiasi sono più lenti quanto più ne sono distanti

LA  MASSA  DEL  SOLE  E  LA  TERZA  LEGGE  DI  KEPLERO

Per mezzo della Legge di Gravitazione Universale,  conoscendo la distanza dal Sole e  il perio-

do di  rivoluzione  della Terra  o  di uno qualsiasi  dei  pianeti del sistema solare, si può calco-

lare il valore della massa del Sole.

La formula finale ci farà trovare la Terza legge di Keplero.

Basta  uguagliare  la  forza  attrattiva  da  parte  del  Sole  alla  forza  centrifuga che agisce sul

pianeta (nell'ipotesi che il moto del pianeta sia circolare uniforme).

Se il pianeta è la Terra, sappiamo che il raggio medio della sua orbita è di circa 150 milioni di

chilometri e il suo periodo T = 365 giorni,    v = 2 _* π _* r / T.

(1)  G _* M _* m / r ² = m _* v ² /  r  

si possono dividere entrambi i membri per ' m / r '  e si ottiene :

  M = 4_*π²_* r ³  /  ( G _*T² )   =   2_*10³⁰ (kg)

Da quest'ultima  uguaglianza  vediamo  che  per tutti  i  pianeti che ruotano intorno al Sole o

ad un’altra stella qualsiasi,  i cubi dei  semiassi maggiori  delle orbite  sono  proporzionali ai

quadrati dei loro periodi di rivoluzione. 

r ³ / T ² =  G _* M  / 4 _* π ² = costante per ogni dato M.

TuttI i pianeti più distanti dal Sole hanno semiassi maggiori  e  periodi  maggiori,  quindi sono

più lenti.

Conoscendo il raggio dell'orbita lunare (384400 km) ed il periodo di rivoluzione della Luna

(27,32 giorni), la stessa equazione consente di calcolare la massa M della Terra, invece di quel-

la del Sole.

Dalla (1) si ricava la velocità del pianeta del sistema solare o dei satelliti artificiali della Terra.

Da questa formula possiamo ad es. dedurre che la velocità di un satellite in un'orbita di raggio quadruplo dev'essere la metà di quella di un satellite di raggio 1/4 ed infatti, in base alla Legge di Keplero avevamo detto che quelli più lontani hanno periodi più lunghi e quindi sono più lenti.

ooooo

COS'E' IL CALORE SPECIFICO E COME SI MISURA.

MISURA DEL CALORE SPECIFICO DI UN MTERIALE

Si potrà capire che a parità di massa, un metallo si riscalda di più del legno. I cucchiai che si usano in cucina sono di legno e non di metallo. Ai metalli basta poco calore per aumentare la loro temperatura (sono come i bambini che gioiscono con poco).

Se invece di acqua nei termosifoni, ci fosse ad es. mercurio (costoso e .. velenoso), si riscalderebbero molto più rapidamente e altrettanto rapidamente si raffredderebbero.

oooooooo

Precisazioni dopo la verifica sperimentale del 2° Principio della Dinamica

PRECISAZIONI  SUL  SECONDO  PRINCIPIO  DELLA  DINAMICA

  

 Segue un secondo test molto facile 

 Ricordarsi per lo spazio percorso, in questo caso, che conviene calcolarlo considerando non le tre diverse leggi orarie, ma l’area dei vari tratti sotto il grafico di velocità.

  

 

Questo Test con  10  domande, consente di esercitarsi col II Principio della Dinamica  e  di  capire che nell'equazione F=m_*a, se ci sono due o più forze che agiscono su di un corpo, per F bisogna intendere la risultante delle forze.

La forza F = 12 (N)  agisce per tutto il tratto  AE, mentre una seconda forza, DI VERSO OPPOSTO varia da un tratto all'altro del percorso.

Il test è utile  anche il  fatto  che  nello stesso grafico sono presenti più tipi di moto.

1  1)    Quanto vale l'accelerazione nel primo tratto AB? (Utilizza i valori del grafico).

      2)   Quanto  vale la forza d'attrito F_a nel tratto AB?

3  3)    Quanto vale l'accelerazione nel tratto BC?

4  4)    Quanto vale la forza d'attrito Fa nel tratto BC?

5  5)    Quanto vale l'accelerazione nel tratto CD?

6  6)   Quanto vale la forza d'attrito F_a nel tratto CD?

7  7)  Quanto vale (in valore assoluto) la decelerazione nel tratto DE?

8  8)    Quanto vale la forza d'attrito F_a nel tratto DE?

9  9)  Quanto vale la distanza AB ?

110)   Quanto  vale la distanza totale AE?

o

oooo

VERIFICHIAMO SPERIMENTALMENTE CHE UN FORZA COSTANTE GENERA UN'ACCELERAZIONE COSTANTE

STUDIO  DEL  MOTO  DI  UN CORPO  TIRATO  DA  UNA  FORZA  DI  INTENSITA’  COSTANTE

Una massa verrà tirata (con attrito trascurabile) da un peso  che cade  lungo la verticale.

Si prefissano  4 o 5 valori di distanze crescenti e si misurano  i tempi impiegati per percorrerle (con velocità iniziale sempre nulla) e utilizzando sempre lo stesso peso al traino.

Le due fotocellule a1 ed a2 comanderanno la partenza e l'arresto del timer.

Alla fine costruiremo un grafico (spazio,tempo) e cercheremo di capire il tipo di moto.

Il grafico orario dello spazio in funzione del tempo sembra un arco di parabola, passante per l'origine degli assi. Ma per poterlo affermare abbiamo costruito un secondo grafico degli spazi percorsi in funzione dei quadrati dei tempi impiegati a percorrerli.

Solo allora abbiamo potuto affermare  affermare che il rapporto :  s / t² = costante

Come conseguenza del fatto che il rapporto   s  /  t ²  =  k  (con  k  costante),  abbiamo dimostrato che la velocità istantanea  è  direttamente proporzionale  al  tempo   e  che l'accelerazione è costante.

Cominciamo col dimostrare la diretta proporzionalità fra velocità istantanea e tempo.

A tale scopo consideriamo due istanti  t₁  e  t₂  =  t₁ + dt ,   talmente vicini  che  la velocità durante l'intervallo di tempo dt si possa ritenere costante :

  v  = ds / dt  =  (s₂  -  _s1) / dt  = (k _* t₂ ²  -   k _* t₁ ²) / dt  =  k _* (t₂ ²  -   t₁ ²) / dt

Ricordando che : t₂ ²  -  t₁² =  (t₂ - t₁) _* (t₂ + t₁)   e che  t₂ - t₁ = dt , si ha  :

v = k _* (t₁ + t₂)  ma, data la piccolezza di  dt ,  si ha : t₁ = t₂ = t, quindi risulta : v = 2_*k_*t .

Ecco dimostrato che la velocità istantanea è proporzionale al tempo.

                Passiamo ora a dimostrare che l'accelerazione è costante.

  a  =  dv / dt  =  (v₂ - v₁) / dt  =  (2 _* k _* t₂  -  2 _* k _* t₁)  /  dt  =  2 _* k _* (t₂ - t₁) / dt  =  2 _* k ,

dato che : t₂ - t₁  =  dt .   Quindi  a  =  2 _* k    è  costante  e  risulta  :   k = a / 2

Ed eccoci alle ben note formule  del  moto rettilineo uniformemente accelerato (con VELOCITA' INIZIALE NULLA)  :        

v  =  a _* t ,          s  =  a _* t ² / 2 .

Quindi abbiamo verificato che se su di un corpo  agisce  una  FORZA  COSTANTE,  gli spazi percorsi sono  proporzionali  ai   quadrati   dei   rispettivi   tempi   impiegati,  mentre   l'ACCELERAZIONE   è COSTANTE.

ooooo

STUDIO GRAFICO DEL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO.

 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO .  Grafici (v,t) ed (s,t)

ooooo

Cos'è l'accelerazione? Cerchiamo di capirlo per mezzo di un grafico (velocità,tempo)

IL MOTO  RETTILINEO  UNIFORMEMENTE  ACCELERATO

                                                                    Questo grafico schematizza due diversi tipi di moto.

              Gli angoli dovrebbero essere arrotondati, perché  la                      velocità non può cambiare così bruscamente.
                
               Per quanti secondi la velocità si mantiene costante ?
               Quanti metri vengono percorsi nei primi 10 secondi ?

                Quando  la velocità è costante, lo spazio percorso è                        dato  dall’area del rettangolo (in un grafico v,t) avente

                per base il tempo impiegato.

Nella  seconda  parte del grafico la velocità va  crescendo con un incremento costante  per ogni secondo e l'aumento di velocità è proporzionale al tempo.

Si definisce accelerazione  il rapporto costante che esiste (nella seconda parte del grafico),  fra  una  qualsiasi variazione di velocità  e  l'intervallo di tempo  nel  quale è avvenuta  :

Che valore costante ha quest' accelerazione ?

E' facile capire che a = 0.4 (m/s²),  e ciò sta a farci capire che in 1 secondo la velocità aumenta di 0.4 (m/s).  Ad es. fra 30  e  35 (s) passa da 12  a  14 (m/s).

Ma se da 30 (s) si  passa a  30.01 (s), la  velocità aumenta soltanto di 0.004 (m/s). Se si prendesse  un  intervallo  di  tempo ancora più piccolo di un centesimo di secondo (a rigore infinitamente  piccolo)  la  velocità  finirebbe col mantenersi  costante e  lo spazio sarebbe quindi dato dall'area della striscia  disegnata (come in un moto uniforme).

 Se  si  sommano  tutte  le  striscioline  comprese  (fra 10 e  50 s)  si ottiene lo spazio percorso  in  questo  tempo, e sarà dato dall'area  del trapezio tratteggiato. La base minore è la velocità  iniziale (Vo) con cui si comincia ad accelerare, mentre la base maggiore è la velocità finale, dell’intervallo di tempo considerato.

Questa velocità finale  vale :   

                  V = Vo + a _* t  quindi  :

s = (b + B)*h /2 = (Vo + V) * t / 2  = 

 = (2 * Vo * t + a * t ²) / 2   

ma preferiamo scriverla così :   

                 s = Vo _* t  +  a _* t ² /  2

ed è detta  legge oraria   del moto rettilineo uniformemente accelerato, e ci permette di calcolare lo spazio percorso (conoscendo Vo , a, ed il tempo t ) senza la necessità di disegnare il grafico velocità-tempo.

ooooo

Studio grafico del moto rettilineo uniformemente decelerato.

ooooo