PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI NELLE MISURE INDIRETTE DI DUE O PIU’ GRANDEZZE FISICHE
Una misura di lunghezza è stata scritta nella forma :
Se ad es. sono date le due misure : L1 = (32 ± 2) cm , L2 = (12 ± 3) cm, basta capire che una differenza fra due valori è massima, se il primo termine (L1) è massimo ed il secondo, (L2) è minimo.
Infatti : D(max) = 34 - 9 = 25 (cm) e D (min) = 15 cm , e l'errore assoluto della differenza :
[D (max) - D (min) ] / 2 = (25 - 15) / 2 = 5 cm
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MISURE INDIRETTE DEL PRODOTTO E DEL QUOZIENTE DI DUE GRANDEZZE FISICHE.
C.V.D.
Supponiamo di voler calcolare l'area di questo rettangolo, dopo
aver fatto le misure della sua base e dell'altezza.
dS < 10 nessun decimale
Se dS >
Come abbiamo detto, sull'errore assoluto non si tollera più di una cifra significativa, per cui, in questi casi :
Se dS < 1 si lascia un solo decimale
Se dS < 10 trasformiamo in cm2
MISURIAMO IL VOLUME DI UN CILINDRO DANDONE L’ERRORE ASSOLUTO
Se 1 < dV < 10 nessun decimale
Se dV > 10 trasformiamo in cm3
Nel nostro caso, scriveremo il risultato come segue :
Una misura di lunghezza è stata scritta nella forma :
L = (24,5 ± 0,2) cm.
Quali sono i valori massimo e minimo fra i quali è compresa la misura?
Quanto vale il valore massimo? (24,7)
Quanto vale il valore minimo? (24,3)
Potrai capire facilmente che l'errore assoluto (dL) di più misure ripetute di una stessa grandezza può essere calcolato con l'importante formula :
dL = [ L(max) - L(min) ] / 2
Infatti : (24,7 – 24,3) / 2 = 0,2
Vogliamo ora dimostrare che l'errore assoluto della somma o della differenza di due o più grandezze fisiche (ovviamente omogenee) è uguale alla somma dei loro errori assoluti.
Infatti : D(max) = 34 - 9 = 25 (cm) e D (min) = 15 cm , e l'errore assoluto della differenza :
[D (max) - D (min) ] / 2 = (25 - 15) / 2 = 5 cm
Non bisogna pensare che se i due errori assoluti sono uguali, quello della loro differenza sia zero, perché in realtà è doppio.
Non si può escludere che il risultato di una misura possa avere errore zero, ma non possiamo saperlo e con gli errori si ha il dovere di essere pessimisti (mai troppo ottimisti).
Rimane allo studente da dimostrare che anche l'errore assoluto della somma è anch’esso uguale alla somma degli errori assoluti delle due (o più) grandezze.
MISURE INDIRETTE DEL PRODOTTO E DEL QUOZIENTE DI DUE GRANDEZZE FISICHE.
Vogliamo dimostrare che per il prodotto P = A * B o per il quoziente Q = A / B si sommano gli errori relativi, (non quelli assoluti) :
dA e dB sono gli errori assoluti su A e B
Dimostreremo però solo il caso del prodotto :
Cominciamo col ricordare che : 3) dP = (Pmax - Pmin) / 2
Il prodotto è massimo o minimo se A e B sono entrambi massimi o minimi, quindi :
4) Pmax = Amax* Bmax = (A + dA) * (B + dB) = A*B + A*dB + B*dA + dA*dB =
= (approssimativamente) = A*B + A*dB + B*dA perché il prodotto (dA*dB) normalmente è molto minore degli altri termini. (Già dA e dB normalmente sono molto più piccoli di A e B) .
Analogamente, si ha :
5) Pmin = (Amin * Bmin) = (A - dA) * (B - dB) = A * B - A * dB - B * dA
Sostituendo 4) e 5) nella 3) , si ha : 6) dP = A*dB + B*dA. quindi :
C.V.D.
Non dovrebbe essere difficile ricordare a memoria la formula 6), che darebbe direttamente l'errore assoluto del prodotto di due grandezze, ma nel caso che queste siano più di due, la formula dell'errore assoluto sarebbe più complicata. Per questa ragione useremo ancora la somma degli errori relativi e calcolaremo dopo l'errore assoluto.
Se dP / P = k , l'errore assoluto su P sarà dato da : dP = k * P.
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MISURA DELL'AREA DI UN RETTANGOLO E CALCOLO DEL SUO ERRORE ASSOLUTO
Supponiamo di voler calcolare l'area di questo rettangolo, dopo
aver fatto le misure della sua base e dell'altezza.
dS < 10 nessun decimale
Se dS >
Come abbiamo detto, sull'errore assoluto non si tollera più di una cifra significativa, per cui, in questi casi :
Se dS < 1 si lascia un solo decimale
Se dS < 10 trasformiamo in cm2
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Se r = 600 (mm) ± 5 (mm) ed h = 500 (mm) ± 5 (mm)
risulta : V = (565486200 ± 13,33) (mm3)
Normalmente sull’errore assoluto non si tollera più di una cifra significativa, per cui ci conviene trasformare il valore del volume e del suo errore assoluto in cm3.
Se dV < 1 si lascia un solo decimaleSe 1 < dV < 10 nessun decimale
Se dV > 10 trasformiamo in cm3
Nel nostro caso, scriveremo il risultato come segue :
V = (565486,20 ± 0.01) (cm3)
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