PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI NELLE MISURE INDIRETTE DI DUE O PIU’ GRANDEZZE FISICHE

PROPAGAZIONE  DEGLI  ERRORI  NELLE  MISURE  INDIRETTE  DI  DUE  O  PIU’  GRANDEZZE  FISICHE

Una misura di lunghezza  è  stata  scritta  nella  forma : 

                                                 L = (24,5  ±  0,2) cm.

Quali sono i valori massimo e minimo fra i quali è compresa la misura? 

Quanto vale il valore massimo?          (24,7)

Quanto vale il valore minimo?            (24,3)    

Potrai capire facilmente che  l'errore assoluto  (dL) di più misure ripetute di una stessa grandezza  può essere calcolato con l'importante formula  :

dL  =  [ L_(max) - L_(min) ]  /  2

Infatti  :  (24,7 – 24,3) / 2 = 0,2

Vogliamo ora dimostrare che l'errore assoluto della somma o della differenza di due o più grandezze fisiche (ovviamente omogenee)  è uguale alla somma dei loro errori assoluti.

Se ad es. sono date le due misure  :      L₁ = (32 ± 2) cm  ,      L₂ = (12 ± 3)  cm,  basta  capire che una  differenza  fra  due  valori   è   massima,    se  il  primo  termine  (L₁)   è   massimo   ed    il secondo, (L₂)  è  minimo.

Infatti :  D_(max)  =  34 - 9 = 25  (cm) e  D _(min) =  15 cm ,  e l'errore assoluto della differenza :

                                                   [D _(max) - D _(min) ] / 2 = (25 - 15) / 2 = 5 cm

Non bisogna pensare che se i due errori assoluti sono uguali, quello della loro differenza  sia zero, perché in realtà è doppio.

Non si può escludere che il  risultato  di una misura  possa  avere errore zero, ma non possiamo saperlo e con gli errori si ha il dovere di essere pessimisti (mai troppo ottimisti).

Rimane  allo  studente  da  dimostrare che anche l'errore assoluto della  somma  è  anch’esso uguale alla somma degli errori assoluti delle due (o più) grandezze.

                                                          ooooooo

MISURE INDIRETTE DEL PRODOTTO E DEL QUOZIENTE DI DUE GRANDEZZE FISICHE.

Vogliamo dimostrare che per il prodotto  P = A _* B    o  per il quoziente Q = A / B   si sommano gli errori relativi, (non quelli assoluti)  :

                                                          

dA  e  dB  sono gli errori assoluti su A  e  B

  

Dimostreremo però solo il caso del prodotto : 

Cominciamo col ricordare che :  3)      dP  = (P_max  -   P_min) / 2

Il prodotto è massimo o minimo se  A e  B  sono entrambi massimi o minimi, quindi :

 4)  P_max = A_max*   B_max  = (A + dA) _* (B + dB) = A_*B + A_*dB + B_*dA + dA_*dB  =

= (approssimativamente) = A_*B + A_*dB + B_*dA perché il prodotto (dA_*dB)  normalmente è molto minore degli altri termini. (Già  dA  e  dB normalmente sono molto più piccoli di A e B) .

Analogamente, si ha  :

5)    P_min = (A_min * B_min) = (A - dA) _* (B - dB) = A _* B  - A _* dB - B _* dA

Sostituendo  4)  e  5) nella  3) ,  si  ha  :               6)   dP = A*dB + B*dA.  quindi  :

 C.V.D.

Non dovrebbe essere difficile ricordare a memoria la formula 6), che darebbe  direttamente l'errore assoluto del prodotto di due grandezze, ma  nel caso che  queste siano più di due, la formula dell'errore assoluto sarebbe più complicata. Per questa ragione useremo ancora la somma degli errori relativi e calcolaremo dopo l'errore assoluto.

Se  dP /  P   =  k ,  l'errore assoluto su  P  sarà dato da  :  dP = k _* P.

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MISURA DELL'AREA DI UN RETTANGOLO E CALCOLO DEL SUO ERRORE ASSOLUTO

Supponiamo  di  voler  calcolare l'area di questo rettangolo, dopo
aver fatto le  misure  della  sua base e dell'altezza.

dS < 10    nessun decimale
Se  dS >
Come abbiamo detto, sull'errore assoluto non si tollera più di una cifra significativa, per cui, in questi casi :
Se   dS < 1           si lascia un solo decimale
Se   dS <  10          trasformiamo in cm²

ooooooo

MISURIAMO  IL  VOLUME  DI  UN  CILINDRO  DANDONE  L’ERRORE  ASSOLUTO

Se r = 600 (mm) ± 5 (mm)    ed       h = 500 (mm) ± 5 (mm)

risulta : V = (565486200 ± 13,33)  (mm³)

Normalmente sull’errore assoluto non si tollera più di una cifra significativa, per cui ci conviene trasformare il valore del volume e del suo errore assoluto in cm³.

Se   dV < 1           si lascia un solo decimale
Se  1 < dV < 10    nessun decimale
Se  dV > 10          trasformiamo in cm³

Nel nostro caso, scriveremo il risultato come segue :

V = (565486,20  ± 0.01)  (cm³)

ooooo