Calcoliamo con l'analisi numerica il tempo di vuotaggio di un serbatoio da un piccolo foro.

Un esempio di ‘Analisi numerica’ in applicazione del Teorema di Torricelli

Il teorema di Torricelli, serve a calcolare la velocità di uscita di un liquido da un foro di area s₂ molto minore di S.   (s₂ <<< S).

In queste condizioni  si  potrà considerare nulla (o almeno trascurabile  la  velocità del liquido  della  sezione  S,  in  confronto alla velocità v₂ di uscita dalla sezione s₂.

Applichiamo il Teorema del Bernoulli alle due sezioni (ricordando che  V = 0  nella sezione grande S ) :

h_o + P_o / (d_*g) = 0 + v₂² / (2_*g) + P_o / (d_*g) . (La pressione al di sopra di  S  e  all'esterno di  s₂  è  quella atmosferica, (per cui è la stessa),  per cui risulta :

  v =  (2_*g_*ho)^1/2

Quindi la velocità del liquido che esce dal foro è  la stessa che acquisterebbe un grave cadendo da un' altezza h_o  (pari al dislivello fra le due sezioni).

Volendo  calcolare  il tempo  necessario  per  vuotare  il  serbatoio  col  piccolo  foro di sezione s₂ <<< S.  in modo da poter utilizzare nei  vari  momenti  la velocità  di  uscita data dalla formula di Torricelli,  v = (2_*g_*x )^1/2,  ricorreremo al  metodo dell'analisi numerica (in sostituzione di un metodo rigoroso di livello universitario).

Divideremo quindi  l'altezza iniziale ' ho '  del  liquido, in  un  grandissimo numero di parti dx = h_o / N.  (Es. N = 1000).

In  un  intervallo  di  tempo   ' dt '   dal  forellino  esce  un  volume  di  liquido pari  a  (s_2*v_*dt)  che  è  uguale  (per  liquido  perfetto,  privo  di  attriti  e  incomprimibile)  al volume  (S_*dx) che si abbassa nel cilindro grande, per cui  x  diventa : x - dx, essendo dx = s_2*v_*dt / S. Quindi : s_2*v_*dt = S _* dx , per cui : 

dt  = S_*dx  / (s_2*v).

Bisognerà ricordarsi di inizializzare il calcolo,  ponendo :

t = 0, x = ho, v2 = (2 * g * x),  dx =  ho / N    (con N molto grande, es. 500 o 1000) quindi si dovrà impostare un calcolo ricorsivo di questo tipo :

Do

If x > 0  Then   v = Sqr (2_*9.8_*x)  dt = S_*dx / (v_*s₂) End If       (N.B. sqr   sta per radice quadrata.)

    t = t + dt    x = x  -  v_*s_2*dt / S   Loop Until x < 0

Dati : S = 1200  (cm²) ,  s₂ =  1  (cm²)  ,  h_o =  100  (cm)  ,  N = 2000    (vuotaggio, calcolato con analisi numerica) = 533  (s)

Con formula rigorosa )  t (vuotaggio) = (S/s₂)_*(2_*h_o/g)^1/2 = 542  (s)

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