Conservazione della quantità di moto in direzione orizzontale. Una massa scivola su un blocco mobile (a sua volta). Attriti nulli.

Volendo si può disegnare il grafico della funzione V1 = y = Radice quadrata (39.2/(1+0.75/x)  con x che rappresenta la massa M2. Si troverà un asintoto orizzontale per y = 6.26

Dinamica dei Sistemi rigidi rotanti: Un classico problema con l'intervento iniziale dell'attrito radente nel rotolamento.

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DINAMICA DEI SISTEMI RIGIDI : Un problema sul moto Roto-Traslatorio.

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Calcoliamo con l'analisi numerica il tempo di vuotaggio di un serbatoio da un piccolo foro.

Un esempio di ‘Analisi numerica’ in applicazione del Teorema di Torricelli

Il teorema di Torricelli, serve a calcolare la velocità di uscita di un liquido da un foro di area s₂ molto minore di S.   (s₂ <<< S).

In queste condizioni  si  potrà considerare nulla (o almeno trascurabile  la  velocità del liquido  della  sezione  S,  in  confronto alla velocità v₂ di uscita dalla sezione s₂.

Applichiamo il Teorema del Bernoulli alle due sezioni (ricordando che  V = 0  nella sezione grande S ) :

h_o + P_o / (d_*g) = 0 + v₂² / (2_*g) + P_o / (d_*g) . (La pressione al di sopra di  S  e  all'esterno di  s₂  è  quella atmosferica, (per cui è la stessa),  per cui risulta :

  v =  (2_*g_*ho)^1/2

Quindi la velocità del liquido che esce dal foro è  la stessa che acquisterebbe un grave cadendo da un' altezza h_o  (pari al dislivello fra le due sezioni).

Volendo  calcolare  il tempo  necessario  per  vuotare  il  serbatoio  col  piccolo  foro di sezione s₂ <<< S.  in modo da poter utilizzare nei  vari  momenti  la velocità  di  uscita data dalla formula di Torricelli,  v = (2_*g_*x )^1/2,  ricorreremo al  metodo dell'analisi numerica (in sostituzione di un metodo rigoroso di livello universitario).

Divideremo quindi  l'altezza iniziale ' ho '  del  liquido, in  un  grandissimo numero di parti dx = h_o / N.  (Es. N = 1000).

In  un  intervallo  di  tempo   ' dt '   dal  forellino  esce  un  volume  di  liquido pari  a  (s_2*v_*dt)  che  è  uguale  (per  liquido  perfetto,  privo  di  attriti  e  incomprimibile)  al volume  (S_*dx) che si abbassa nel cilindro grande, per cui  x  diventa : x - dx, essendo dx = s_2*v_*dt / S. Quindi : s_2*v_*dt = S _* dx , per cui : 

dt  = S_*dx  / (s_2*v).

Bisognerà ricordarsi di inizializzare il calcolo,  ponendo :

t = 0, x = ho, v2 = (2 * g * x),  dx =  ho / N    (con N molto grande, es. 500 o 1000) quindi si dovrà impostare un calcolo ricorsivo di questo tipo :

Do

If x > 0  Then   v = Sqr (2_*9.8_*x)  dt = S_*dx / (v_*s₂) End If       (N.B. sqr   sta per radice quadrata.)

    t = t + dt    x = x  -  v_*s_2*dt / S   Loop Until x < 0

Dati : S = 1200  (cm²) ,  s₂ =  1  (cm²)  ,  h_o =  100  (cm)  ,  N = 2000    (vuotaggio, calcolato con analisi numerica) = 533  (s)

Con formula rigorosa )  t (vuotaggio) = (S/s₂)_*(2_*h_o/g)^1/2 = 542  (s)

Errore relativo 1.6 %

Generazione di una tensione alternata di tipo sinusoidale.

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Il calibro con nonio decimale

IL CALIBRO CON NONIO DECIMALE CON TEST DI CONTROLLO

Il nonio decimale è un regolino scorrevole  su  una scala fissa  che   consente  di  apprezzarne  i 

decimi  di  divisione.

10 divisioni del nonio equivalgono a 9 (mm), quindi :

1 div. del nonio  =  9 / 10 (mm)  =  0.9 (mm).

   La differenza fra l'ampiezza di una divisione della scala fissa  

una divisione di quella mobile equivale a 1/10 di mm.

Lo zero del nonio che fa sempre da  indice  per la scala fissa ci dice che la misura x nellaseconda figuravale  6.4  (mm).

Infatti  :  x + 4 di(del nonio) = 10 (mm), cioè  : 

             x + 4_*0.9 (mm) = 10 (mm),  quindi  :

x + 3.6 (mm) = 10 (mm)  per cui   risulta  x  =  10 (mm)  –  3.6  (mm) = 6.4  (mm) .

Un altro modo (forse più semplice) per spiegare il valore di x, consiste nel pensare che, se  la 

quarta  divisione  del  nonio coincide (o quasi) con una divisione della scala fissa (in mm), la

terza divisione ne dista  0.1 (mm), la seconda 0.2 (mm), la prima 0.3 (mm),  e  lo zero del nonio

ne dista 0.4 (mm) .

Per esercitarsi a leggere un nonio decimale consigliamo di provare a leggere da soli nei 4 dise-

gni che seguono, coprendo prima con la mano le risposte .

  segue un test per prova scritta :

SPIEGAZIONE ED ESERCITAZIONE SUL NONIO VENTESIMALE

SPIEGAZIONE ED ESERCITAZIONE SUL NONIO VENTESIMALE

Il nonio ventesimale (che è il regolino superiore scorrevole) sulla scala fissa graduata in mm)

 permette di apprezzare  i  ventesimi di millimetro.

Si vede che 20 divisioni del nonio equivalgono a 19 (mm), per cui si ha :

1 divisione (del nonio) = 19 / 20  di  (mm).

Quindi la differenza fra l'ampiezza di una divisione della scala fissa (1 mm) e una divisione

della scala del nonio è di 1/20 di (mm). D-d =  1 (mm) - 19/20 (mm) =  1/20 (mm)  =  0.05 (mm).

Lo zero del nonio (che è quello che conta) ci dice che il valore di questa misura  è  maggiore di 

13 (mm) e un po' minore di 14 (mm) .....

Per stabilire quanti decimali si devono aggiungere ai 13 (mm), basta guardare quale divisione

del nonio coincide, .. o almeno è la più vicina ad una divisione della scala fissa.

Se  è  la divisione 15 del nonio, la misura risulta essere di  13.75  (mm),   dato che  15 / 20 (mm)

= 0.75 (mm).

Infatti :   x  +  15 (div. del nonio)  =  28 (mm) ,  quindi  :   x  +  15_*(19/20) (mm)  =  28 (mm).

x + 14.25 (mm) = 28 (mm),  ed  : x = 13.75 (mm).

Seguono alcuni esempi di lettura, ma coprire prima con la mano la parte destra dove c'è scritto il valore :

PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI NELLE MISURE INDIRETTE DI DUE O PIU’ GRANDEZZE FISICHE

PROPAGAZIONE  DEGLI  ERRORI  NELLE  MISURE  INDIRETTE  DI  DUE  O  PIU’  GRANDEZZE  FISICHE

Una misura di lunghezza  è  stata  scritta  nella  forma : 

                                                 L = (24,5  ±  0,2) cm.

Quali sono i valori massimo e minimo fra i quali è compresa la misura? 

Quanto vale il valore massimo?          (24,7)

Quanto vale il valore minimo?            (24,3)    

Potrai capire facilmente che  l'errore assoluto  (dL) di più misure ripetute di una stessa grandezza  può essere calcolato con l'importante formula  :

dL  =  [ L_(max) - L_(min) ]  /  2

Infatti  :  (24,7 – 24,3) / 2 = 0,2

Vogliamo ora dimostrare che l'errore assoluto della somma o della differenza di due o più grandezze fisiche (ovviamente omogenee)  è uguale alla somma dei loro errori assoluti.

Se ad es. sono date le due misure  :      L₁ = (32 ± 2) cm  ,      L₂ = (12 ± 3)  cm,  basta  capire che una  differenza  fra  due  valori   è   massima,    se  il  primo  termine  (L₁)   è   massimo   ed    il secondo, (L₂)  è  minimo.

Infatti :  D_(max)  =  34 - 9 = 25  (cm) e  D _(min) =  15 cm ,  e l'errore assoluto della differenza :

                                                   [D _(max) - D _(min) ] / 2 = (25 - 15) / 2 = 5 cm

Non bisogna pensare che se i due errori assoluti sono uguali, quello della loro differenza  sia zero, perché in realtà è doppio.

Non si può escludere che il  risultato  di una misura  possa  avere errore zero, ma non possiamo saperlo e con gli errori si ha il dovere di essere pessimisti (mai troppo ottimisti).

Rimane  allo  studente  da  dimostrare che anche l'errore assoluto della  somma  è  anch’esso uguale alla somma degli errori assoluti delle due (o più) grandezze.

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MISURE INDIRETTE DEL PRODOTTO E DEL QUOZIENTE DI DUE GRANDEZZE FISICHE.

Vogliamo dimostrare che per il prodotto  P = A _* B    o  per il quoziente Q = A / B   si sommano gli errori relativi, (non quelli assoluti)  :

                                                          

dA  e  dB  sono gli errori assoluti su A  e  B

  

Dimostreremo però solo il caso del prodotto : 

Cominciamo col ricordare che :  3)      dP  = (P_max  -   P_min) / 2

Il prodotto è massimo o minimo se  A e  B  sono entrambi massimi o minimi, quindi :

 4)  P_max = A_max*   B_max  = (A + dA) _* (B + dB) = A_*B + A_*dB + B_*dA + dA_*dB  =

= (approssimativamente) = A_*B + A_*dB + B_*dA perché il prodotto (dA_*dB)  normalmente è molto minore degli altri termini. (Già  dA  e  dB normalmente sono molto più piccoli di A e B) .

Analogamente, si ha  :

5)    P_min = (A_min * B_min) = (A - dA) _* (B - dB) = A _* B  - A _* dB - B _* dA

Sostituendo  4)  e  5) nella  3) ,  si  ha  :               6)   dP = A*dB + B*dA.  quindi  :

 C.V.D.

Non dovrebbe essere difficile ricordare a memoria la formula 6), che darebbe  direttamente l'errore assoluto del prodotto di due grandezze, ma  nel caso che  queste siano più di due, la formula dell'errore assoluto sarebbe più complicata. Per questa ragione useremo ancora la somma degli errori relativi e calcolaremo dopo l'errore assoluto.

Se  dP /  P   =  k ,  l'errore assoluto su  P  sarà dato da  :  dP = k _* P.

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MISURA DELL'AREA DI UN RETTANGOLO E CALCOLO DEL SUO ERRORE ASSOLUTO

Supponiamo  di  voler  calcolare l'area di questo rettangolo, dopo
aver fatto le  misure  della  sua base e dell'altezza.

dS < 10    nessun decimale
Se  dS >
Come abbiamo detto, sull'errore assoluto non si tollera più di una cifra significativa, per cui, in questi casi :
Se   dS < 1           si lascia un solo decimale
Se   dS <  10          trasformiamo in cm²

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MISURIAMO  IL  VOLUME  DI  UN  CILINDRO  DANDONE  L’ERRORE  ASSOLUTO

Se r = 600 (mm) ± 5 (mm)    ed       h = 500 (mm) ± 5 (mm)

risulta : V = (565486200 ± 13,33)  (mm³)

Normalmente sull’errore assoluto non si tollera più di una cifra significativa, per cui ci conviene trasformare il valore del volume e del suo errore assoluto in cm³.

Se   dV < 1           si lascia un solo decimale
Se  1 < dV < 10    nessun decimale
Se  dV > 10          trasformiamo in cm³

Nel nostro caso, scriveremo il risultato come segue :

V = (565486,20  ± 0.01)  (cm³)

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